বক্ররেখা x = y² এবং রেখা y = x-2 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: বক্ররেখা \( x = y^2 \) এবং রেখা \( y = x - 2 \) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে?

সমাধান:

প্রথমে, বক্ররেখা এবং রেখাটির ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি। রেখাটি হলো: \( y = x - 2 \) সুতরাং, \( x = y + 2 \) বক্ররেখাটি হলো: \( x = y^2 \) সুতরাং, \( y^2 = y + 2 \) বা, \( y^2 - y - 2 = 0 \) বা, \( (y - 2)(y + 1) = 0 \) সুতরাং, \( y = 2 \) অথবা \( y = -1 \) যখন \( y = 2 \), তখন \( x = 2 + 2 = 4 \) যখন \( y = -1 \), তখন \( x = -1 + 2 = 1 \) সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \( (4, 2) \) এবং \( (1, -1) \)। এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য আমরা \( y \) এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেশন করব। ক্ষেত্রফল, \( A = \int_{-1}^{2} [(y + 2) - y^2] dy \) \( = \int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) dy \) \( = [\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{2} \) \( = (\frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3}) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3}) \) \( = (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) \) \( = (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) \) \( = (\frac{18 - 8}{3}) - (\frac{3 - 12 + 2}{6}) \) \( = \frac{10}{3} - (\frac{-7}{6}) \) \( = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} \) \( = \frac{20 + 7}{6} \) \( = \frac{27}{6} \) \( = \frac{9}{2} \) বর্গ একক। 🎉 ```