পাশের চিত্রে প্রদত্ত সীমার মধ্যে \( y = kx^2 \) ফাংশন ও \( x \) অক্ষের মধ্যবর্তী অংশের ক্ষেত্রফল কত?

Explanation: Hints: \( y = f(x) \) বক্ররেখা ও \( x \) অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল \( = \int y \, dx \)। Solve: \( y = kx^2 \) ও চিত্রের সর্বশেষস্থির চেদাবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3) \[ \therefore 3 = k4^2 \implies k = \frac{3}{16} \] \[ \therefore \text{ক্ষেত্রফল } = \int_0^4 ydx = \int_0^4 kx^2 dx \] \[ = \int_0^4 \frac{3}{16}x^2 dx = \frac{3}{16} \int_0^4 x^2 dx \] \[ = \frac{3}{16} \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^4 = \frac{3}{16} \times \frac{64}{3} \] \[ = \frac{3 \times 64}{16 \times 3} = 4 \, \text{বর্গ একক} \] Ans. (C) ব্যাখ্যা: চিত্রে \( y = kx^2 \) বক্ররেখাটিকে 3 একক দৈর্ঘ্যের AB রেখাংশ A বিন্দুতে ছেদ করে। OB এর দৈর্ঘ্য 4 একক ও AB = 3 একক বলে A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3)। (4, 3) বিন্দুটি \( y = kx^2 \) বক্ররেখার উপর অবস্থিত বলে বিন্দুটি দ্বারা বক্ররেখাটিকে সিদ্ধ করে \( k \) এর মান পাওয়া গেল \( \frac{3}{16} \)। তাহলে \( y = \frac{3}{16}x^2 \) ও \( x = 4 \) সর্বশেষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফলই হচ্ছে নির্দেশিত ক্ষেত্রফল।