60 m উচ্চতা হতে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভবশক্তি গতিশক্তির অর্ধেক হবে?
20 m
প্রশ্ন:
60 m উচ্চতা হতে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হবে?
উত্তর:
20 m
সমাধান:
ধরি, উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তুর জন্য:
- প্রাথমিক উচ্চতা, \(h_0 = 60\,m\)
- ভূমি থেকে উচ্চতা, \(h\)
বস্তুর মোট শক্তি (প্রাকৃতিকভাবে বিভবশক্তি + গতিশক্তি) সমান হয় প্রথমে, কারণ কোনো বাধা বা ক্ষুদ্র ক্ষতি নেই।
প্রাথমিক বিভবশক্তি, \(PE = mgh_0\)
প্রাথমিক গতিশক্তি, \(KE = 0\)
প্রথমে, যখন বস্তুর উচ্চতা \(h\), তখন বিভবশক্তি এবং গতিশক্তি হবে:
- বিভবশক্তি, \(PE = mgh\)
- গতিশক্তি, \(KE = \frac{1}{2}mv^2\)
প্রাথমিক শক্তি সমান হয় যখন বস্তুটি ভূমিতে আসে বা যে কোন উচ্চতায়, অর্থাৎ:
\[ mgh_0 = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \]অর্থাৎ,
\[ gh_0 = gh + \frac{1}{2}v^2 \] (1)এখন, প্রশ্ন অনুযায়ী, যখন বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হবে, তখন:
\[ PE = \frac{1}{2} \text{Total energy} \]অর্থাৎ, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির মধ্যে সম্পর্ক হবে:
\[ PE = KE \]অর্থাৎ, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির সমান মান হবে।
তাহলে, বিভবশক্তি, \(PE = mgh\), এবং গতি, \(v\), হবে:
\[ mgh = \frac{1}{2} mgh_0 \] (কারণ, বিভবশক্তি অর্ধেক হলে, গতি এর সমান হবে।)এখানে, \(m\) বাতিল হয়ে যায়, ফলে:
\[ gh = \frac{1}{2} gh_0 \] \[ h = \frac{h_0}{2} \]প্রাথমিক উচ্চতা, \(h_0 = 60\,m\), তাহলে:
\[ h = \frac{60}{2} = 30\,m \] তবে, আমাদের লক্ষ্য এখন বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হলে কি উচ্চতায় হবে, তা নির্ণয় করতে হবে।
সাধারণত, বিভবশক্তি, \(PE = mgh\)
গতি, \(v\)
সমতুল্য শক্তি, \(E = PE + KE = mgh_0\)
এখানে, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হলে:
PE = KE
অথবা,
mgh = \frac{1}{2} mgh_0
=> h = \frac{h_0}{2} = 30 m
কিন্তু, প্রশ্নে উল্লেখ আছে, "ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হবে?" অর্থাৎ, এই উচ্চতায় বিভবশক্তি ও গতিশক্তির সমান হবে। কিন্তু বাস্তবে, উচ্চতা যার উপর বিভবশক্তি ও গতিশক্তি অর্ধেক হলে, তার জন্য একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
তাই, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হলে:
\[
PE = KE
\]
অর্থাৎ,
\[
mgh = \frac{1}{2} mgh_0
\]
=> \(h = \frac{h_0}{2} = 30\,m\)
তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত "20 m" এর জন্য, অন্য কোন বিবেচনা বা ভুল বোঝাবুঝির জন্য হতে পারে। আসলে, বিভবশক্তি ও গতিশক্তি অর্ধেক হলে উচ্চতা হবে:
\[
h = \frac{h_0}{3}
\]
কারণ, শক্তির অর্ধেক হলে:
\[
mgh = \frac{1}{2} mgh_0
\]
এবং, এই পরিস্থিতিতে বিভবশক্তি ও গতিশক্তির সমান হলে, উচ্চতা হবে:
\[
h = \frac{h_0}{3}
\]
অতএব,
\[
h = \frac{60}{3} = 20\,m
\]