vecA=2hati-hatj+3hatk, vecB= hati+2hatj-4hatk ;  vecA এবং  vecB যে সমতলে অবস্থিত তার লম্ব দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর। 

প্রথমে, দুটির ভেক্টর:

vecA = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}

vecB = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}

দুটি ভেক্টর সমতলে অবস্থিত হলে, তাদের ক্রস প্রোডাক্ট (vecA × vecB) শূন্য হবে।

প্রথমে, তাদের ক্রস প্রোডাক্ট নির্ণয় করি:

vecA × vecB = | \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -4 \\ \end{bmatrix} |

এটি সমাধান করি:

vecA × vecB = \hat{i}((-1)(-4) - 3(2)) - \hat{j}(2(-4) - 3(1)) + \hat{k}(2(2) - (-1)(1))

= \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(-8 - 3) + \hat{k}(4 + 1)

= \hat{i}(-2) - \hat{j}(-11) + \hat{k}(5)

= -2\hat{i} + 11\hat{j} + 5\hat{k}

অর্থাৎ, ক্রস প্রোডাক্ট হল:

vecA × vecB = -2\hat{i} + 11\hat{j} + 5\hat{k}

এখন, যেহেতু ভেক্টররা সমতলে, তারা উভয়ই এই ক্রস প্রোডাক্টের সাথে অপর পক্ষের ভেক্টর (vecA ও vecB) এর সমন্বয় দ্বারা লম্ব হবে।

তাদের সমতলে অবস্থিত হতে, এই ক্রস প্রোডাক্টের প্রোপার্টি অনুযায়ী, তাদের সমন্বয় করে একটি ইউনিট ভেক্টর তৈরি করা যায়।

প্রথমে, ক্রস প্রোডাক্টের মান নির্ণয় করি:

|vecA × vecB| = \sqrt{(-2)^2 + 11^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 121 + 25} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}

অতএব, লম্ব দিকের একক ভেক্টর (unit vector) হবে:

\mathbf{u} = \frac{vecA × vecB}{|vecA × vecB|} = \frac{-2\hat{i} + 11\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{6}}

এখন, প্রতিটি উপাদান ভাগ করি:

u_x = \frac{-2}{5 \sqrt{6}}, \quad u_y = \frac{11}{5 \sqrt{6}}, \quad u_z = \frac{5}{5 \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}

অতএব, সমতলে অবস্থিত লম্ব দিকের একক ভেক্টর হল:

\boxed{\pm \left( \frac{-2}{5 \sqrt{6}}\hat{i} + \frac{11}{5 \sqrt{6}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k} \right)}