sec²( tan^-15 ) + tan²( sec^-12 ) এর মান কত ?

প্রশ্ন: sec²( tan^-15 ) + tan²( sec^-12 ) এর মান কত?

উত্তর: 29

সমাধান:

ধরা যাক, \( \theta = \tan^{-1} 5 \)

তাহলে, \( \tan \theta = 5 \)

প্রথম অংশ: \( \sec^2 (\tan^{-1} 5) \)

আমরা জানি, \( \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta \)

অতএব,

\( \sec^2 (\tan^{-1} 5) = 1 + (\tan \theta)^2 = 1 + 25 = 26 \)

দ্বিতীয় অংশ:

ধরা যাক, \( \phi = \sec^{-1} 2 \)

অর্থাৎ, \( \sec \phi = 2 \)

আমরা জানি, \( \sec \phi = \frac{1}{\cos \phi} \), অতএব,

\( \cos \phi = \frac{1}{2} \)

তাহলে, \( \sin \phi \) এর মান হবে:

\( \sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

অতএব,

\( \sin \phi = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

এখন, \( \tan \phi \) এর মান হবে:

\( \tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)

অতএব,

\( \tan^2 \phi = (\sqrt{3})^2 = 3 \)

শেষে, মূল সমাধান:

\( \sec^2 (\tan^{-1} 5) + \tan^2 (\sec^{-1} 2) = 26 + 3 = 29 \)