sec²(tan^-15)+tan²(sec^-12)=?

প্রথমে আমাদের দৃষ্টিতে দিতে হবে যে, আমাদের প্রশ্নঃ

\( \sec^2(\tan^{-1} 5) + \tan^2(\sec^{-1} 2) \)

ধাপে ধাপে সমাধান:

1. \(\sec^2(\tan^{-1} 5)\)

ধরি, \(\theta = \tan^{-1} 5\)। তাহলে, \(\tan \theta = 5\)।

তাহলে, একটি ত্রিভুজে, \(\tan \theta = \frac{অপ্রান্তবর্তী}{অধীনান্তমূল্য}\) অর্থাৎ, অপ্রান্তবর্তী = 5, অধীনান্তমূল্য = 1।

অতএব, হাইপোটেনুসের মান:

\( \text{Hypotenuse} = \sqrt{(5)^2 + (1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \)

অতএব, \(\sec \theta = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{অধীনান্তমূল্য}} = \frac{\sqrt{26}}{1} = \sqrt{26}\)

সুতরাং,

\( \sec^2 \theta = (\sqrt{26})^2 = 26 \)

2. \(\tan^2(\sec^{-1} 2)\)

ধরি, \(\phi = \sec^{-1} 2\)। তাহলে, \(\sec \phi = 2\)।

অর্থাৎ, \(\sec \phi = \frac{\textHypotenuse}{অধীনান্তমূল্য} = 2\)।

অতএব, ত্রিভুজে, হাইপোটেনুস \(= 2 \times \text{অধীনান্তমূল্য}\)।

আমাদের ধরে নিতে পারি, \(\text{অধীনান্তমূল্য} = 1\), তখন হাইপোটেনুস \(= 2\).

তাহলে, অপ্রান্তবর্তী (অর্থাৎ, \(\tan \phi\)) হবে:

\( \tan \phi = \frac{\text{অপ্রান্তবর্তী}}{\text{অধীনান্তমূল্য}} \)

প্রথমে, \(\text{অপ্রান্তবর্তী} = \sqrt{\text{Hypotenuse}^2 - \text{অধীনান্তমূল্য}^2 = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\)

অতএব,

\( \tan \phi = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \)

সুতরাং,

\( \tan^2 \phi = (\sqrt{3})^2 = 3 \)

চূড়ান্ত ফলাফল:

\( \sec^2(\tan^{-1} 5) + \tan^2(\sec^{-1} 2) = 26 + 3 = 29 \)