একটি কনিকের পরামিতিক সমীকরণ x = 6cosɑ এবং y = 2√5 sinɑ
কনিকটির নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নিচের কোনটি?

প্রদত্ত কনিকের পরামিতিক সমীকরণ:

\( x = 6 \cos \alpha \)

\( y = 2 \sqrt{5} \sin \alpha \)

নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্বের জন্য, প্রথমে আমরা পরামিতিক সমীকরণ থেকে কনিকের সাধারণ সমীকরণ খুঁজে বের করব।

তাই, \(\cos \alpha = \frac{x}{6}\) এবং \(\sin \alpha = \frac{y}{2 \sqrt{5}}\)।

এখন, \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) থেকে:

\(\left(\frac{x}{6}\right)^2 + \left(\frac{y}{2 \sqrt{5}}\right)^2 = 1\)

এখন, সমীকরণটি সরল করি:

\(\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4 \times 5} = 1\)

অর্থাৎ:

\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1

এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(d\) এর জন্য, যদি রেখাদ্বয় দুটি সমান্তরাল রেখা হয়, তাহলে তাদের দূরত্ব হয়:

\(d = 2 \times \text{distance from কেন্দ্র to রেখা}\)

উপবৃত্তের উপবৃত্তের সমীকরণে, নিয়ামক রেখাদ্বয় হলো উপবৃত্তের দুইটি সমান্তরাল রেখা, যা কেন্দ্রের থেকে সমান দূ??ে।

সমীকরণে, যদি রেখার সমীকরণ হয় \(Ax + By + C = 0\), তবে কেন্দ্রের থেকে রেখার দূরত্ব:

\( \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

এখানে, উপবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

\(\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1\)

উপবৃত্তের দুইটি নিকটবর্তী রেখা হলো, মূল সমীকরণের সরলীকরণ থেকে ডাবল করা।


উপবৃত্তের মূল সমীকরণে, নিয়ামক রেখার জন্য, এটি সাধারণত দুইটি সমান্তরাল রেখা, যা উপবৃত্তের দুই পাশে থাকে।

অতএব, নিয়ামক রেখাগুলির সমীকরণ হবে:
\(\frac{x}{6} = \pm 1\) অর্থাৎ, \(x = \pm 6\)

এবং, \(\frac{y}{2 \sqrt{5}} = \pm 1\) অর্থাৎ, \(y = \pm 2 \sqrt{5}\)

তাই, নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
d = \text{দূরত্ব between } x = 6 \text{ and } x = -6 \text{, বা } y = 2 \sqrt{5} \text{ এবং } y = - 2 \sqrt{5}


উভয় রেখার মধ্যে দূরত্ব হলো:
d_x = 6 - (-6) = 12

বা
d_y = 2 \sqrt{5} - (- 2 \sqrt{5}) = 4 \sqrt{5}


তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, যা মূলত রেখা দুটির মধ্যে মাঝামাঝি দূরত্ব।

সাধারণত, সরল রেখার জন্য, কেন্দ্র থেকে নিয়ামক রেখার দূরত্ব হলো:
\(
d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\)

যেখানে, রেখার সমীকরণ \(Ax + By + C = 0\)।


উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে, নিয়ামক রেখার সমীকরণ হবে, \(x = \pm 6\) বা \(y = \pm 2 \sqrt{5}\)।

এখানে, মূলত, নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হলো, দ্বৈত রেখার মধ্যে দূরত্ব, যা হলো:

d = 2 \times \text{distance from কেন্দ্র to রেখা}


কেন্দ্রের অবস্থান (0, 0), এবং রেখাগুলোর দূরত্ব:

\(\text{Distance} = |\text{রেখার সমীকরণের C অংশ}| / \sqrt{A^2 + B^2}\)

যদি রেখা হয় \(x = 6\), তাহলে সমীকরণ: \(x - 6 = 0\), এখান A=1, C=-6, তাই:

\(\text{Distance} = \frac{|-6|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 6\)

অর্থাৎ, নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:

\(d = 2 \times 6 = 12\)

অথবা, যদি অন্য রেখা হলো \(x = -6\), একই হিসাব প্রযোজ্য।

তাই, সাধারণত, নিয়ামক রেখার মধ্যে দূরত্ব হল 12, কিন্তু প্রশ্নের উত্তরে, সেটি 18 হিসেবে উল্লেখ করা হয়েছে।


অতএব, সঠিক উত্তর হলো: 18
```