টিট্রিয়ামের অর্ধায়ু 12.5 বছর। একখণ্ড টিট্রিয়ামের 3/4 অংশ ক্ষয় হতে কত সময় লাগবে? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

টিট্রিয়ামের অর্ধায়ু \(T_{1/2}\) = 12.5 বছর।

প্রশ্ন অনুযায়ী, একখণ্ড টিট্রিয়ামের \(\frac{3}{4}\) অংশ ক্ষয় হতে কত সময় লাগবে তা নির্ণয় করব।

ধাপ ১: অর্ধায়ুর সংজ্ঞা ও সূত্র:

অর্ধায়ু \(T_{1/2}\) মানে, মূল উপাদানের অর্ধেক ক্ষয় হলে সময় লাগে।

অবশিষ্ট অংশের পরিমাণ নির্ণয়ে, যদি \(N_0\) ছিল মূল পরিমাণ, তবে after \(t\) বছর, অবশিষ্ট পরিমাণ হবে:

\[ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \]

ধাপ ২: ক্ষয় হওয়া অংশের পরিমাণ নির্ণয়:

আদর্শে, মূল অংশের \(\frac{1}{4}\) ক্ষয় হয়েছে, অর্থাৎ অবশিষ্ট অংশ হবে \(\frac{3}{4}\)।

তাই,

\[ \frac{N}{N_0} = \frac{3}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \]

ধাপ ৩: সমীকরণ থেকে \(t\) নির্ণয়:

লগarithmic রূপে লিখলে:

\[ \ln \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{t}{T_{1/2}} \times \ln \left(\frac{1}{2}\right) \] অর্থাৎ, \[ t = T_{1/2} \times \frac{\ln \left(\frac{3}{4}\right)}{\ln \left(\frac{1}{2}\right)} \]

ধাপ ৪: মান গণনা:

\[ t = 12.5 \times \frac{\ln \left(\frac{3}{4}\right)}{\ln \left(\frac{1}{2}\right)} \] এখানে, \[ \ln \left(\frac{3}{4}\right) = \ln 3 - \ln 4 = \ln 3 - 2 \ln 2 \] \[ \ln \left(\frac{1}{2}\right) = - \ln 2 \] সুতরাং, \[ t = 12.5 \times \frac{\ln 3 - 2 \ln 2}{- \ln 2} \] \[ t = 12.5 \times \frac{- (\ln 3 - 2 \ln 2)}{\ln 2} \] \[ t = 12.5 \times \frac{- \ln 3 + 2 \ln 2}{\ln 2} \] \[ t = 12.5 \times \left( \frac{2 \ln 2 - \ln 3}{\ln 2} \right) \] প্রথমে, \(\ln 2 \approx 0.6931\), \(\ln 3 \approx 1.0986\): \[ t \approx 12.5 \times \frac{2 \times 0.6931 - 1.0986}{0.6931} \] \[ t \approx 12.5 \times \frac{1.3862 - 1.0986}{0.6931} \] \[ t \approx 12.5 \times \frac{0.2876}{0.6931} \] \[ t \approx 12.5 \times 0.415 \] \[ t \approx 5.19 \text{ বছর} \] প্রতিটি অর্ধায়ু সময়ের জন্য ক্ষয় অংশের জন্য, পুরো ক্ষয় অংশের জন্য সময় দ্বিগুণ হবে। তবে, এখানে লক্ষ্য হলো \(\frac{3}{4}\) ক্ষয়, যা দুটি অর্ধায়ুর সমান ক্ষয় নয়, বরং এক অর্ধায়ুর পরে অর্ধেক ক্ষয়। তাই, সম্পূর্ণ ক্ষয় সময় = \(2 \times 12.5 = 25\) বছর। কারণ, প্রথম অর্ধায়ুতে ৫০% ক্ষয়, দ্বিতীয় অর্ধায়ুতে ২৫% ক্ষয়, মোট ক্ষয় হবে ৭৫%। সুতরাং, একখণ্ড টিট্রিয়ামের \(\frac{3}{4}\) অংশ ক্ষয় হতে মোট সময় = **25 বছর**।

উত্তর: ২৫ বছর