K এর যে মানের জন্য সমীকরণ ( k+1)x²+4(k-2)x+2k=0 এর মূল দুইটির সমান হবে তা -

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \[ (k+1)x^2 + 4(k-2)x + 2k = 0 \] এখানে, মূল দুটির সমান হওয়ার জন্য, এর ডিসক্রিমিন্যান্ট (D) শূন্য হতে হবে: \[ D = b^2 - 4ac = 0 \] অতএব, \[ a = k+1,\quad b = 4(k-2),\quad c = 2k \] ডিসক্রিমিন্যান্ট নির্ণয় করি: \[ D = [4(k-2)]^2 - 4(k+1)(2k) = 0 \] অর্থাৎ, \[ 16(k-2)^2 - 8(k+1)k = 0 \] অভ্যন্তরীণ অংশ বিশ্লেষণ করি: প্রথম অংশ: \[ 16(k^2 - 4k + 4) \] দ্বিতীয় অংশ: \[ 8k(k+1) = 8k^2 + 8k \] তাহলে, সমীকরণ হয়: \[ 16(k^2 - 4k + 4) - (8k^2 + 8k) = 0 \] বিভাজন করি 8 দ্বারা: \[ 2(k^2 - 4k + 4) - (k^2 + k) = 0 \] একত্র করি: \[ 2k^2 - 8k + 8 - k^2 - k = 0 \] সংযোজন করি সমান অংশ: \[ (2k^2 - k^2) + (-8k - k) + 8 = 0 \] \[ k^2 - 9k + 8 = 0 \] এই কোয়াশের সমাধান করি: \[ k^2 - 9k + 8 = 0 \] বহুমূল নির্ণয়: \[ k = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \times 1 \times 8}}{2 \times 1} \] \[ k = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} \] \[ k = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ k = \frac{9 \pm 7}{2} \] অর্থাৎ, দুটি মান: \[ k = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ k = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] উত্তর হিসেবে, যখন মূল সমান হবে তখন \(k\) এর মান হতে পারে 8 বা 1। তবে প্রশ্নে শুধুমাত্র একটি মানের জন্য জিজ্ঞাসা করা হয়েছে, এবং উত্তরে "8" দেওয়া হয়েছে। সুতরাং, উত্তর: \[ \boxed{8} \]