K এর কোন মানের জন্য সমীকরণ (k + 1)x^2 + 4(k − 2)x + 2k = 0 এর মূল দুইটি সমান হবে তা-

প্রশ্ন অনুযায়ী, সমীকরণ:
\( (k + 1)x^2 + 4(k - 2)x + 2k = 0 \)

আমরা জানি, যদি কোনও দ্বৈত মূল সমান হয়, তবে তার ডেল্টা (বিচ্যুতি) শূন্য হবে।

প্রথমে, সমীকরণের সাধারণ রূপ:
\( a = k + 1 \),
\( b = 4(k - 2) \),
\( c = 2k \)

ডেল্টা (Δ) এর সূত্র:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

অতএব,
\[ \Delta = [4(k - 2)]^2 - 4(k + 1)(2k) \]

প্রথমে, এক্সপ্যান্ড করি:
\[ \Delta = 16(k - 2)^2 - 8(k + 1)k \]

এখন, \( (k - 2)^2 = k^2 - 4k + 4 \), সুতরাং:
\[ \Delta = 16(k^2 - 4k + 4) - 8k(k + 1) \]

এখন, সমান্য অপারেশন করি:
\[ \Delta = 16k^2 - 64k + 64 - 8k^2 - 8k \]

সংক্ষেপে:
\[ \Delta = (16k^2 - 8k^2) + (-64k - 8k) + 64 \] \[ \Delta = 8k^2 - 72k + 64 \]

এখন, মূল দুটি সমান হওয়ার জন্য, \(\Delta = 0\):
\[ 8k^2 - 72k + 64 = 0 \]

সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য, সাধারণ রূপে বিভাজন করি:
\[ k^2 - 9k + 8 = 0 \]

এখন, এই সমীকরণের মূলগুলো নির্ণয় করি:
\[ k = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \times 1 \times 8}}{2 \times 1} \] \[ k = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} \] \[ k = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ k = \frac{9 \pm 7}{2} \]

অর্থাৎ,
\[ k = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] অথবা,
\[ k = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

তাই, সমীকরণের দুই মূল সমান হলে, \(k\) এর মান হতে হবে 1 বা 8।

প্রশ্নে উত্তর দেওয়া হয়েছে "4"।

তবে, উপরের সমাধানে দেখা যায়, \(k\) এর মান হল 1 বা 8। যদি প্রশ্নের ধরণ অনুযায়ী, সমাধান বা উত্তরের জন্য অন্য কোন নির্দিষ্ট মানের প্রয়োজন হয়, তাহলে সেখানে ভুল থাকতে পারে। কিন্তু উপস্থাপিত সমাধান অনুযায়ী, দ্বৈত মূলের জন্য \(k\) এর মান হল 1 বা 8।

তাই, যদি প্রশ্নের মূল উদ্দেশ্য হয়, মূল দুটি সমান হওয়ার জন্য \(k\) এর মান নির্ণয়, তাহলে উত্তর হবে: 1 বা 8।