\( \sqrt{5} e^{i tan^{-1} (-2)} \) দ্বারা কোন সংখ্যাটি প্রকাশ করা যায়?
প্রশ্ন: \( \sqrt{5} e^{i \tan^{-1} (-2)} \) দ্বারা কোন সংখ্যাটি প্রকাশ করা যায়?
উত্তর: 1-2i
ব্যাখ্যা:
ধরি, \( \theta = \tan^{-1}(-2) \)। তাহলে, \( \tan(\theta) = -2 \)।
আমরা জানি, \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \)।
এখন, \( \cos(\theta) \) এবং \( \sin(\theta) \) এর মান বের করতে হবে। যেহেতু \( \tan(\theta) = -2 = \frac{-2}{1} \), আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করতে পারি, যেখানে লম্ব = 2 এবং ভূমি = 1।
সুতরাং, অতিভুজ = \( \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \)।
তাহলে, \( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{5}} \) এবং \( \sin(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{5}} \)।
সুতরাং, \( e^{i\theta} = \frac{1}{\sqrt{5}} - i \frac{2}{\sqrt{5}} \)।
এখন, \( \sqrt{5} e^{i \tan^{-1} (-2)} = \sqrt{5} e^{i\theta} = \sqrt{5} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} - i \frac{2}{\sqrt{5}} \right) = 1 - 2i \)।
অতএব, \( \sqrt{5} e^{i \tan^{-1} (-2)} \) দ্বারা 1-2i সংখ্যাটি প্রকাশ করা যায়। 🎉
```