int_-1^1absx dx এর সঠিক মান নিচের কোনটি ?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \(\int_{-1}^{1} |\!x|\ dx\) এর মান কি?
প্রথমে, লক্ষ্য করুন যে \(|x|\) হলো মানের ধনাত্মক মান, অর্থাৎ:
\[
|x| = \begin{cases}
-x, & \text{যখন } x < 0 \\
x, & \text{যখন } x \geq 0
\end{cases}
\]
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দুটি অংশে বিভক্ত হবে:
\[
\int_{-1}^{1} |x|\ dx = \int_{-1}^{0} |x|\ dx + \int_{0}^{1} |x|\ dx
\]
প্রথম অংশে, \(x < 0\), তাই:
\[
\int_{-1}^{0} |x|\ dx = \int_{-1}^{0} -x\ dx
\]
দ্বিতীয় অংশে, \(x \geq 0\), তাই:
\[
\int_{0}^{1} |x|\ dx = \int_{0}^{1} x\ dx
\]
এখন, সেগুলোর সমাধান করি:
\[
\int_{-1}^{0} -x\ dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left( -\frac{0^2}{2} \right) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}
\]
\[
\int_{0}^{1} x\ dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}
\]
অতএব,
\[
\int_{-1}^{1} |\!x|\ dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]
**উত্তর: \(\boxed{1}\)**
