z=-1-i হলে-

1.  barz + -1+i
2. |z|=√2
3. z এর পোলার আকার

√2(cos3π/4-isin3π/4)

সমাধান

1. প্রশ্নঃ \(\overline{z} + (-1 + i)\)

প্রথমে, \(\overline{z}\) নির্ণয় করি। যেহেতু \( z = -1 - i \), তাহলে \[ \overline{z} = -1 + i \] অতঃপর, \[ \overline{z} + (-1 + i) = (-1 + i) + (-1 + i) = -1 - 1 + i + i = -2 + 2i \]

2. প্রশ্নঃ \(|z| = \sqrt{2}\)

\(|z|\) নির্ণয় করি: \[ |z| = \sqrt{(\text{রিয়াল অংশ})^2 + (\text{ইম্যাজিনারি অংশ})^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] অর্থাৎ, \(|z| = \sqrt{2}\) সঠিক।

3. প্রশ্নঃ \(z\) এর পোলার আকার

\(z = -1 - i\) এর পোলার রূপ: \[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \] প্রথমে, \(r = |z| = \sqrt{2}\) \(\theta\) নির্ণয় করি: \[ \theta = \arg(z) = \tan^{-1} \left(\frac{\text{ইম্যাজিনারি অংশ}}{\text{রিয়াল অংশ}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \] কিন্তু, কারণ রিয়াল ও ইম্যাজিনারি উভয়ই ঋণাত্মক, তাহলে কোণের চতুর্থ কোণ হয়। সুতরাং, \(\theta = -\frac{3\pi}{4}\) অতঃ, পোলার রূপ: \[ z = \sqrt{2} \left[\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right)\right] \] যেখানে \(\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) এবং \(\sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = - \sin \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}\) সুতরাং, \[ z = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) = \sqrt{2} \times \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + i \times \sqrt{2} \times \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ = -1 - i \] অর্থাৎ, পোলার আকার: \[ z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} - i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \]

তাই উত্তরঃ

i, ii, iii