কোন একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের আর্ধায়ু 10 দিন ।  কত দিনে ঐ পদার্থের 75% ক্ষয়প্রাপ্ত হবে? 

সমাধান:

ধরা যাক, তেজস্ক্রিয় পদার্থের মূল পরিমাণ হলো \(N_0\)।

আর্ধায়ু (Half-life) \(t_{1/2} = 10\) দিন।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, কত দিনে ঐ পদার্থের 75% ক্ষয়প্রাপ্ত হবে অর্থাৎ, অবশিষ্ট থাকবে 25% বা \(\frac{1}{4}\)।

প্রথমে, ক্ষয়প্রাপ্তির সূত্র ব্যবহার করি:

\[ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{1/2}}} \]

এখানে, \(N\) হলো অবশিষ্ট পরিমাণ, \(t\) হলো সময়, \(t_{1/2}\) হলো আর্ধায়ু।

অবশিষ্ট থাকবে 25%, অর্থাৎ:

\[ \frac{N}{N_0} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}} \]

এখন, সমীকরণ থেকে \(t\) নির্ণয় করি:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] অর্থাৎ, \[ \frac{t}{10} = 2 \] অতএব, \[ t = 2 \times 10 = 20 \text{ দিন} \]

উত্তর:

অতএব, ঐ পদার্থের 75% ক্ষয়প্রাপ্ত হবে 20 দিন।