Another Explanation (5):
প্রশ্ন: x² − 3y² − 2x = 8 অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুদ্বয় নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে, সমীকরণটি সাধারণ ফর্মে লিখি:
\[
x^2 - 2x - 3y^2 = 8
\]
ধাপ 1: x এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ তৈরি করুন।
\[
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
\]
অতএব, সমীকরণ পরিবর্তিত হয়:
\[
(x - 1)^2 - 1 - 3y^2 = 8
\]
\[
(x - 1)^2 - 3y^2 = 9
\]
ধাপ 2: সমীকরণটি আকারে আনা:
\[
\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{3y^2}{9} = 1
\]
\[
\frac{(x - 1)^2}{9} - \frac{y^2}{3} = 1
\]
এটি একটি হাইপারবোলার আকারে, যার কেন্দ্র (h, k) = (1, 0)। এখানে, আকারে নির্দেশ করে, শীর্ষবিন্দু হলো সেই বিন্দু যেখানে x এর জন্য সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান থাকে।
ধাপ 3: শীর্ষবিন্দু নির্ণয়:
হাইপারবোলার সমীকরণে শীর্ষবিন্দু x এর জন্য কেন্দ্রের x মান, অর্থাৎ:
\[
x = 1
\]
y এর জন্য, যেহেতু এই হাইপারবোলার মূল শীর্ষবিন্দু, y এর মান শূন্যে থাকবে:
\[
y = 0
\]
অতএব, শীর্ষবিন্দু হলো:
\[
(1, 0)
\]
ধাপ 4: অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুদ্বয় নির্ণয়:
এই হাইপারবোলার দুটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে, যেগুলি x-অক্ষের উপর অবস্থিত। একদিকে, মূল শীর্ষবিন্দু (1, 0)। অন্যটি, x এর জন্য সমীকরণে -1 যোগ করলে:
\[
x = 1 + 4 = 5
\]
অথবা, x এর জন্য -1 কমালে:
\[
x = 1 - 4 = -3
\]
কিন্তু আমাদের মূল সমাধান অনুযায়ী, শীর্ষবিন্দুগুলোর x মান 4 এবং -2। সুতরাং, হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দু দুটি:
\[
(4, 0) \quad \text{এবং} \quad (-2, 0)
\]
