k এর কোন মানের জন্য x² + (2k+4)x + 8k - 3 = 0 এর মূলদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

k এর কোন মানের জন্য \(x^2 + (2k+4)x + 8k - 3 = 0\) এর মূলদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে?

উত্তরঃ

উত্তর: \(-2\)

সমাধানঃ

ধরি, দোঃ মূল্য হল \(α\) ও \(β\)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, মূলদ্বয় সমান এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত। অর্থাৎ,

• \(α = -β\)
• এবং, \(α \times β = \text{প্রধানের ধারা}\)

ধাপ ১ঃ মূলদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত

অর্থাৎ, \(α = -β\) এবং \(α \times β = -α^2\)।

ধাপ ২ঃ মূলের সমান্তরাল সম্পর্ক

প্রতিটি মূলের যোগফল ও গুণফল পাই:

• যোগফল: \(α + β = -(2k + 4)\)
• গুণফল: \(α \times β = 8k - 3\)

অতএব, যেহেতু \(α = -β\),

তাহলে, \(α + β = 0\)

প্রথম সমীকরণ:

\[ α + β = 0 \implies -(2k + 4) = 0 \] অর্থাৎ, \[ 2k + 4 = 0 \] \[ 2k = -4 \] \[ k = -2 \]

ধাপ ৩ঃ গুণফল যাচাই

এখন, \(α \times β = -α^2\)

অভিযোজন অনুযায়ী, \[ α \times β = 8k - 3 \] এবং, \(α \times β = -α^2\) তাই, \[ -α^2 = 8k - 3 \] \(k = -2\) হলে, \[ 8(-2) - 3 = -16 - 3 = -19 \] অর্থাৎ, \[ -α^2 = -19 \] \[ α^2 = 19 \] এবং, \(α = \pm \sqrt{19}\), যা সত্য। ফলে, মূলদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার জন্য \(k = -2\) মানটি সঠিক।

উপসংহারঃ

অতএব, \(k = -2\) হলে, মূলদ্বয় সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে।