ax^2 + bx + c = 0   সমীকরণের একটি মূল অপরটির 4 গুণ হলে,  4b^2 =?  

প্রথমে ধরি সমীকরণটি:

\(ax^2 + bx + c = 0\)

এবং জানি যে এর এক মূল \(r\), অন্যটি 4 গুণ \(r\), অর্থাৎ:

\(r_1 = r\), \(r_2 = 4r\)

ভিত্তি হিসেবে, সমীকরণের মূলের সম্পর্ক অনুযায়ী:

\(r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\)

অর্থাৎ:

\(r + 4r = -\frac{b}{a}\)

এবং:

\(5r = -\frac{b}{a}\)

অতএব:

\(r = -\frac{b}{5a}\)

এছাড়া, মূলের গুণফল সম্পর্কিত সূত্র অনুযায়ী:

\(r_1 \times r_2 = \frac{c}{a}\)

এখানে:

\(r \times 4r = \frac{c}{a}\)

অর্থাৎ:

\(4r^2 = \frac{c}{a}\)

এখন, \(r = -\frac{b}{5a}\), সুতরাং:

\(4 \left( -\frac{b}{5a} \right)^2 = \frac{c}{a}\)

এখানে:

\(4 \times \frac{b^2}{25a^2} = \frac{c}{a}\)

সুতরাং:

\(\frac{4b^2}{25a^2} = \frac{c}{a}\)

দুটি দিকের সংযোজন:

\(4b^2 \times a = 25a^2 c\)

অতএব:

\(4b^2 a = 25a^2 c\)

একটি \(a\) দ্বারা বিভাজিত করলে:

\(4b^2 = 25 a c\)

অতএব, মূল প্রশ্নে যা চাওয়া হয়েছে তা হল \(4b^2\), তাই:

উত্তর: 25 a c