একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \( (3 + \sqrt{-5}) \) হলে মূলদ্বয়ের গুণফল কত?
সমাধান:
প্রদত্ত মূল: \( z = 3 + \sqrt{-5} \)
মূলের মূলদ্বয়: \( \alpha \) ও \( \beta \)
প্রশ্নে বলা হয়েছে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \( z \)। তাহলে, মূলদ্বয় হলো \( z \) এর মূল।
যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সম্পর্কিত মূল সূত্র:
- \( \alpha + \beta = -b/a \)
- \( \alpha \beta = c/a \)
অতএব, মূলদ্বয়ের গুণফল \( \alpha \beta = c/a \)।
আমাদের লক্ষ্য হল মূল সমীকরণের মান নির্ণয় করা।
ধাপ ১: মূলের গুণফল নির্ণয়
প্রথমত, মূল \( z = 3 + \sqrt{-5} \)।
এখানে, \( \sqrt{-5} \) হলো কাল্পনিক সংখ্যা \( i \) এর সাহায্যে, যেখানে \( i^2 = -1 \)।
অতএব, \( z = 3 + i \sqrt{5} \)।
ধাপ ২: মূলের মূলদ্বয় নির্ণয়
ধরা যাক, মূলদ্বয় হলো \( \alpha \) ও \( \beta \)।
প্রশ্নের জন্য, ধরা যাক, একটি মূল \( z = 3 + i \sqrt{5} \)। ত??হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে:
\( x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta = 0 \)
যেহেতু, মূল \( z \) একটি মূল, তাহলে এটি সমীকরণের এক মূল।
অর্থাৎ, সমীকরণটি হবে:
\( x^2 - 2x + c = 0 \)
এখানে, মূলদ্বয়ের গুণফল \( c \) নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ৩: মূল নির্ণয়
উল্লেখ্য, মূল \( z = 3 + i \sqrt{5} \)।
দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সূত্র অনুযায়ী, একটি মূল \( z \) হলে, সমীকরণের অপর মূল হতে পারে:
\( z' \)
আমরা যদি ধরি এই মূল সমীকরণের মূল, তাহলে তার গুণফল হবে \( c \)।
অথবা, আরও সরাসরি বলতে গেলে, মূলদ্বয়ের গুণফল হলো মূলের মূলদ্বয় সম্পর্কিত।
তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, মূল \( 3 + \sqrt{-5} \)।
সুতরাং, মূলদ্বয়ের গুণফল হলো:
\( (3 + \sqrt{-5}) \times (3 - \sqrt{-5}) \) (বিশ্লেষণ করতে পারি মূলের conjugate দিয়ে)
ধাপ ৪: গুণফল নির্ণয়
\( (3 + \sqrt{-5})(3 - \sqrt{-5}) = 3^2 - (\sqrt{-5})^2 = 9 - (-5) = 9 + 5 = 14 \)
উত্তর:
অতএব, মূলদ্বয়ের গুণফল হলো 14।