2x^2 - 7x + 5= 0 সসমীকরণের মূূূূলদ্বয় ɑ এবং β এবং x^2 - 4x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় β এবং ɤ হলে (ɤ+ɑ):(ɤ-ɑ)=?

Another Explanation (5): প্রথম সমীকরণ: \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \) এর মূলদ্বয়: \(\alpha\) ও \(\beta\) নিয়ম অনুযায়ী, \[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2} \] \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{2} \] দ্বিতীয় সমীকরণ: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) এর মূলদ্বয়: \(\beta\) ও \(\gamma\) নিয়ম অনুযায়ী, \[ \beta + \gamma = 4 \] \[ \beta \gamma = 3 \] এখন, আমাদের লক্ষ্য: \[ \frac{\gamma + \alpha}{\gamma - \alpha} \] প্রথমে, \(\beta\) এর মান নির্ণয় করি। \[ \beta + \gamma = 4 \Rightarrow \gamma = 4 - \beta \] অতএব, \[ \beta \gamma = 3 \Rightarrow \beta (4 - \beta) = 3 \] \[ 4\beta - \beta^2 = 3 \] \[ \beta^2 - 4\beta + 3 = 0 \] এই সমীকরণের মূলগুলো: \[ \beta = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4 \times 1 \times 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] অর্থাৎ, \[ \beta = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{অথবা} \quad \beta = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] **দুটি পরিস্থিতি বিবেচনা করি:** **প্রথম: \(\beta = 3\)** \[ \gamma = 4 - \beta = 4 - 3 = 1 \] এখন, \(\alpha\) এর মান জানা দরকার। আমাদের প্রথম সমীকরণের মূলগুলো: \[ \alpha + \beta = \frac{7}{2} \] \[ \alpha + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2} \] এখন, \[ \frac{\gamma + \alpha}{\gamma - \alpha} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3/2}{1/2} = 3 \] **দ্বিতীয়: \(\beta = 1\)** \[ \gamma = 4 - 1 = 3 \] \[ \alpha + 1 = \frac{7}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{7}{2} - 1 = \frac{7}{2} - \frac{2}{2} = \frac{5}{2} \] এখন, \[ \frac{\gamma + \alpha}{\gamma - \alpha} = \frac{3 + \frac{5}{2}}{3 - \frac{5}{2}} = \frac{\frac{6}{2} + \frac{5}{2}}{\frac{6}{2} - \frac{5}{2}} = \frac{\frac{11}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{11/2}{1/2} = 11 \] উপরের দুই পরিস্থিতির মধ্যে, মূল ফলাফলটি: \[ \boxed{\frac{\gamma + \alpha}{\gamma - \alpha} = 11} \] অতএব, অনুপাত হলো: \[ \boxed{11 : 1} \]