2x³-3x²+2x= 1 সমীকরণের মূলগুলি α, β ও হলে Σαβ =?
1
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \( 2x^3 - 3x^2 + 2x = 1 \)
প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি:
\[ 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 \]
এখন, এই সমীকরণের মূলগুলি ধরা হোক: \( \alpha, \beta, \gamma \)
পোলিনোমের সর্বজনীন সূত্র অনুযায়ী, যদি সাধারণত:
\[ a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 \]
তাহলে, মূলসমূহের সংযোজন:
\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \]
এবং, মূলসমূহের গুণফল:
\[ \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} \]
আমাদের সমীকরণে, \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = 2 \), \( d = -1 \)
অতএব, মূলসমূহের সংযোজন:
\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} \]
এবং, মূলসমূহের গুণফল:
\[ \alpha \beta \gamma = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} \]
প্রশ্নে বলা হয়েছে, মূলগুলি হল \( \alpha, \beta, \) এবং অন্য একটি মূল।
আমরা চাই \( \Sigma \alpha \beta \) অর্থ??ৎ, মূলগুলির মধ্যে দুটি মূলের গুণফল যোগফল।
আমরা জানি, মূলগুলি হলো \( \alpha, \beta, \gamma \)
এবং, মূলগুলির গুণফল:
\[ \alpha \beta \gamma = \frac{1}{2} \]
মূলগুলির মধ্যবর্তী গুণফল সমূহের যোগফল হিসেব করতে হলে, মূলগুলি সম্পর্কে পরিচিত সূত্র অনুযায়ী, যদি মূলগুলি হয় \( \alpha, \beta, \gamma \), তবে:
\[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \]
প্রশ্নে, যদি \( \alpha \) ও \( \beta \) মূল হয়, তাহলে আমরা পেতে পারি:
সাধারণত, মূলগুলি হলে:
Sum of roots: \( S_1 = \alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2} \)
Sum of product of roots taken two at a time: \( S_2 = \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \)
Product of roots: \( P = \alpha \beta \gamma = \frac{1}{2} \)
তাহলে, মূলগুলি যদি \( \alpha, \beta, \gamma \) হয়, তাহলে:
\[ S_2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) \] (অথবা অন্য সূত্র)
অথবা, মূলগুলির গুণফল অনুযায়ী, মূলগুলি সম্পর্কিত অন্য সূত্র প্রয়োগ করে, মূলগুলির মধ্যে দুটি মূলের গুণফল যোগফল হল:
\[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \]
সুতরাং, মূল \( \alpha, \beta, \gamma \) এর জন্য, মূলগুলির মধ্যে দুটি মূলের গুণফল যোগফল হল:
\[ \Sigma \alpha \beta = (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) - \text{(একটি মূলের সঙ্গে অন্য মূলের গুণফল)} \]
যেহেতু প্রশ্নে মূলগুলি \( \alpha, \beta \) ও অন্য মূলের ব্যাপারে বলা হয়েছে, তবে মূলগুলি যদি \( \alpha \) ও \( \beta \) হয়, তবে মূলগুলির গুণফল যোগফল হল:
\[ \boxed{1} \]