70 জন শিক্ষার্থী গনিত, পদার্থবিজ্ঞান ও রসায়ন অধ্যয়ন করে। তারমধ্যে 40 জন শিক্ষার্থী গনিত, 35 জন পদার্থবিজ্ঞান ও 30 জন রসায়ন অধ্যায়ন করে। 15 জন শিক্ষার্থী তিনটি বিষয়ই অধ্যায়ন করে। কতজন শিক্ষার্থী কেবল দুইটি বিষয়ই অধ্যয়ন করে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

ধরা যাক, - মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা \(N = 70\) - গনিত অধ্যয়নকারী সংখ্যা \(G = 40\) - পদার্থবিজ্ঞানের শিক্ষার্থী \(P = 35\) - রসায়নের শিক্ষার্থী \(R = 30\) - তিনটি বিষয়ই অধ্যয়নকারী শিক্ষার্থী \(T = 15\) প্রথমে, কেবল একটি বিষয় অধ্যয়ন করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। তবে, মূলত আমরা কেবল দুইটি বিষয়ই অধ্যয়ন করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা বের করব। প্রতিটি বিষয় অধ্যয়নকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা অনুসারে, সর্বমোট ভর্তি সংখ্যা: \[ |G \cup P \cup R| = N = 70 \] ইউন???ক ভেরিয়েবল: - কেবল গনিত: \(g\) - কেবল পদার্থবিজ্ঞান: \(p\) - কেবল রসায়ন: \(r\) - দুই বিষয়ই অধ্যয়ন করে: \(g p, g r, p r\) - তিন বিষয়ই অধ্যয়ন করে: \(T = 15\) আমরা জানি যে, \[ |G| = g + (g p) + (g r) + T = 40 \] \[ |P| = p + (g p) + (p r) + T = 35 \] \[ |R| = r + (g r) + (p r) + T = 30 \] সুতরাং, \[ g + (g p) + (g r) + 15 = 40 \Rightarrow g + (g p) + (g r) = 25 \quad ...(1) \] \[ p + (g p) + (p r) + 15 = 35 \Rightarrow p + (g p) + (p r) = 20 \quad ...(2) \] \[ r + (g r) + (p r) + 15 = 30 \Rightarrow r + (g r) + (p r) = 15 \quad ...(3) \] বিভিন্ন সেটের যোগফল দিয়ে মূল হিসাব: \[ |G \cup P \cup R| = g + p + r + (g p) + (g r) + (p r) + T = 70 \] অর্থাৎ, \[ g + p + r + (g p) + (g r) + (p r) + 15 = 70 \] এখানে, আমরা উপরের সমীকরণসমূহ থেকে \(g + (g p) + (g r)\), \(p + (g p) + (p r)\), \(r + (g r) + (p r)\) এর মান জানি। এগুলো যোগ করলে: \[ [g + (g p) + (g r)] + [p + (g p) + (p r)] + [r + (g r) + (p r)] = 25 + 20 + 15 = 60 \] তবে এই যোগফলে কিছু বিষয় দ্বিগুণ গণনা হয়েছে। আসুন, এই সমাধানকে সরাসরি সমাধান করি। অন্য পদ্ধতি হলো, দুই বিষয়ই অধ্যয়ন করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয়: প্রতিটি দুই বিষয়ই অধ্যয়নকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা: - গনিত ও পদার্থবিজ্ঞান: \(g p\) - গনিত ও রসায়ন: \(g r\) - পদার্থবিজ্ঞান ও রসায়ন: \(p r\) আমরা জানি, \[ |G \cup P \cup R| = |G| + |P| + |R| - (g p + g r + p r) - 2T \] অথবা, \[ 70 = 40 + 35 + 30 - (g p + g r + p r) - 2 \times 15 \] সুতরাং, \[ 70 = 105 - (g p + g r + p r) - 30 \] \[ 70 = 75 - (g p + g r + p r) \] \[ g p + g r + p r = 75 - 70 = 5 \] অতএব, দুই বিষয়ই অধ্যয়ন করে এমন শিক্ষার্থীর মোট সংখ্যা হলো: \[ \text{Total students studying exactly two subjects} = (g p + g r + p r) = 5 \] ### উত্তর: **5**