ভূপৃষ্ট থেকে একটি সেকেন্ড দোলক কত উচ্চতার পাহাড়ে উঠালে সারাদিনে ১ মিনিট ধীরে চলবে?

সেকেন্ড দোলকের উচ্চতা নির্ণয় ⛰️

আমরা জানি, \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) ⏳ এখানে, T = দোলনকাল, l = দোলকের দৈর্ঘ্য, g = অভিকর্ষজ ত্বরণ।

দোলক ঘড়ি ভূপৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। পাহাড়ে উঠালে g এর মান কমে যায়, তাই দোলনকাল বাড়ে এবং ঘড়ি ধীরে চলে। 🐌

ধরি, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_1\) এবং h উচ্চতার পাহাড়ে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_2\)। তাহলে, \(g_2 = g_1 \left(1 - \frac{2h}{R}\right)\), যেখানে R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ (প্রায় 6400 km)। 🌍

আমরা জানি, দোলনকাল \(T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}\)। সুতরাং, \(\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2}}\)

প্রশ্নমতে, ঘড়িটি দিনে ১ মিনিট ধীরে চলে। অর্থাৎ, 24 ঘন্টায় ১ মিনিট বা 60 সেকেন্ড ধীরে চলে। ⏱️ সুতরাং, \(\frac{T_2}{T_1} = \frac{24 \times 60 \times 60}{24 \times 60 \times 60 - 60} = \frac{86400}{86340} \)

এখন, \(\sqrt{\frac{g_1}{g_2}} = \frac{86400}{86340}\) বা, \(\frac{g_1}{g_2} = \left(\frac{86400}{86340}\right)^2 \approx 1.00139\)

আমরা জানি, \(g_2 = g_1 \left(1 - \frac{2h}{R}\right)\) সুতরাং, \(\frac{g_1}{g_1 \left(1 - \frac{2h}{R}\right)} = 1.00139\) বা, \(1 - \frac{2h}{R} = \frac{1}{1.00139}\) বা, \(\frac{2h}{R} = 1 - \frac{1}{1.00139} = 0.001388\)

অতএব, \(h = \frac{0.001388 \times R}{2} = \frac{0.001388 \times 6400}{2} \approx 4.44 km\)

সুতরাং, পাহাড়ের উচ্চতা প্রায় 4.44 km। 🎉