5x²+3y² = 1 একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নিচের কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 5x^2 + 3y^2 = 1 \) এই উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন। সমাধান: উপবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] আমাদের সমীকরণকে এর রূপে রূপান্তর করলে: \[ 5x^2 + 3y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{5}} + \frac{y^2}{\frac{1}{3}} = 1 \] অর্থাৎ, \[ a^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ b^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{3}} \] উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু সাধারণত \(\pm a\) বা \(\pm b\) বিন্দুতে থাকে। যেহেতু \(a\) হলো x-অক্ষের জন্য বৃহত্তর অর্ধবৃত্তের দূরত্ব, তাই শীর্ষবিন্দু হবে x-অক্ষের উপর। তাহলে, \[ \text{শীর্ষবিন্দু: } (a, 0) \text{ বা } (-a, 0) \] কিন্তু প্রশ্নে চেয়েছে y-অক্ষের শীর্ষবিন্দু। যেহেতু উপবৃত্তটি মূলত y-অক্ষের জন্য বৃহত্তর অর্ধবৃত্তের দূরত্ব, তাই শীর্ষবিন্দু হবে y-অক্ষের উপর। তাহলে, \[ x = 0 \] \[ \text{শীর্ষবিন্দু: } (0, \pm b) = \left(0, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] অতএব, উত্তর হলো: \[ (0, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}) \]