1/1.2+1/2.3+1/3.4+.....   ধারাটির n-তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি কত?

Another Explanation (5): প্রথমে ধারাটির প্রতিটি ধাপের সাধারণ রূপ নির্ণয় করি। ধারাটির প্রথম \( n \) পদ পর্যন্ত সমষ্টি হলো: \[ S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \] প্রতিটি ধাপের ভগ্নাংশটি সাধারণত ভগ্নাংশ বিভাজনের মাধ্যমে সহজ করা যায়: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \] এখানে, \( A \) ও \( B \) নির্ণয় করি: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A(k+1) + Bk}{k(k+1)} \Rightarrow 1 = A(k+1) + Bk \] এখন, \( k \)-এর জন্য সমাধান করি: \[ 1 = A(k+1) + Bk = Ak + A + Bk = (A + B)k + A \] অতএব, \[ A + B = 0 \quad \text{এবং} \quad A = 1 \] অতএব, \[ A = 1, \quad B = -1 \] সুতরাং, \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] এখন, সমষ্টি লিখি: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \] এটি টেলিস্কোপিক সিরিজ, যেখানে প্রথমের কিছু অংক একে অপরের কেটে যায়: \[ S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] সব অংক যোগ করলে, অভ্যন্তরীণ টার্মগুলো কেটে যাবে এবং শুধু অবশিষ্ট থাকবে: \[ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \] এখন, সমাধানটি সাধারণ রূপে লিখি: \[ S_n = \frac{n}{n+1} \] অতএব, \[ \boxed{S_n = \frac{n}{n+1}} \] এটাই ধারাটির \( n \)-তম পদ পর্যন্ত সমষ্টির মান।