\( 0.3+0.003+0.00003+\ldots \) ধারাটির যোগফল কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, ধারাটির সাধারণ রাশি নির্ণয় করি।

ধারা হলো:

\[ 0.3 + 0.003 + 0.00003 + \ldots \] প্রতিটি টার্মের তুলনা করলে দেখা যায়:

প্রথম টার্ম: \( a = 0.3 \)
দ্বিতীয় টার্ম: \( 0.003 = 0.3 \times 10^{-2} \)
তৃতীয় টার্ম: \( 0.00003 = 0.3 \times 10^{-4} \)

এখানে টার্মগুলো জ্যামিতিক অনুক্রমের, যেখানে

প্রথম টার্ম: \( a = 0.3 \)
পরা-মূল: \( r = \frac{0.003}{0.3} = 0.01 \)

অর্থাৎ, সাধারণ রাশি:

\( a = 0.3 \)
\( r = 0.01 \)

ধারাটি আনুপাতিক গুণফল অনুযায়ী চলছে। কিন্তু, লক্ষ্য করুন যে, প্রতিটি পরবর্তী টার্মের জন্য:

\( T_n = a \times r^{n-1} \)

এখানে, প্রথম টার্ম হচ্ছে \( T_1 = 0.3 \), অতএব, ধারাটির সাধারণ রাশি:

\( T_n = 0.3 \times (0.01)^{n-1} \)

ধারা অবিরাম জ্যামিতিক ধারার। এর যোগফল নির্ণয় করার জন্য, যেখানে \( |r| < 1 \):

\( S = \frac{a}{1 - r} \)

অর্থাৎ,

\( S = \frac{0.3}{1 - 0.01} = \frac{0.3}{0.99} \)

এখন, গণনা করলে:

\( S = \frac{0.3}{0.99} = \frac{3/10}{99/100} = \frac{3/10 \times 100/99} = \frac{300}{990} = \frac{30}{99} \)

ফলে, সরল করে:

\( S = \frac{10}{33} \)

অতএব, ধারাটির যোগফল হলো:

উত্তর:

\( \boxed{\frac{10}{33}} \)