1/1.2+1/2.3+1/3.4+.....  ধারাটির n-তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots \text{ পর্যন্ত n-তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি কত?} \] উত্তর: \[ \boxed{\frac{n}{n+1}} \] সমাধান: ধরা যাক, এই ধারাটির প্রথম n-তম পদ হলো \( T_k \): \[ T_k = \frac{1}{k(k+1)} \] প্রথমে, এই ধরণটির জন্য সাধারণ প্রকাশ পেতে পারে: \[ T_k = \frac{1}{k(k+1)} \] এবং এর পার্সেল টেলিস্কোপিক লাইন আমরা করতে পারি: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \] অথবা সরাসরি পার্সেল টেলিস্কোপি করে দেখা যায়: \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] এখন, n-তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \] স্মরণে রাখি, এটি একটি টেলিস্কোপিক সিরিজ। এর সমাধান: \[ S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \] সব অন্তর্ভুক্ত টার্ম একে অপরের পরিপূরক, ফলে: \[ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \] অতএব, \[ S_n = \frac{(n+1) - 1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \] সুতরাং, \[ \boxed{ \text{n-তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি} = \frac{n}{n+1} } \]