1+2+3+4+......+n 

Another Explanation (5):

বিশ্লেষণ:

আমরা প্রথম n সংখ্যার যোগফল হিসাব করতে চাই: \(1 + 2 + 3 + \dots + n\)

প্রথম দুটি সংখ্যার যোগফল হলঃ

\[ 1 + n \]

এখন, যদি এই সংখ্যাগুলোর যোগফল \(S\) হয়, তাহলে:

\[ S = 1 + 2 + 3 + \dots + n \]

প্রাচীন গ্রীক গণিতজ্ঞ গৌসন (Gauss) এর পদ্ধতি অনুসারে, এই যোগফলটি সহজে নির্ণয় করা যায়।

প্রথমে, সংখ্যাগুলোর জোড়া জোড়া যোগফল দেখি:

প্রতিটি জোড়ার যোগফল হলঃ

\[ (1 + n), \quad (2 + n-1), \quad (3 + n-2), \quad \dots \]

প্রতিটি জোড়ার যোগফল একরকম, সেটি হল:

\[ (n + 1) \]

এখন, মোট কতগুলো জোড়া আছে তা নির্ণয় করি:

\[ \text{Number of pairs} = \frac{n}{2} \quad \text{(যদি n জোড় সংখ্যা হয়)} \\ \text{অন্যথায়,} \quad \frac{n-1}{2} \text{ জোড়া, এবং একটিতে একমাত্র সংখ্যাও থাকবেঃ } n \]

সাধারণত, এই যোগফলটির সরাসরি সূত্র হল:

\[ S = \frac{n(n+1)}{2} \]

অর্থাৎ, প্রথম n সংখ্যার যোগফল:

\[ \boxed{\frac{n(n+1)}{2}} \]

এটি একটি মৌলিক গণিতের সূত্র, যা খুব সহজে ব্যবহার করা যায়।