\( n P 3 = 2 \cdot n C 4 \) হলে n এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ যদি \( n P 3 = 2 \cdot n C 4 \) হয়, তবে n এর মান কত?

সমাধান:

প্রথমে, পারমিউটেশন ও কম্বিনেশন এর সূত্র ব্যবহার করি:

• পারমিউটেশন: \( n P r = \dfrac{n!}{(n - r)!} \)
• কম্বিনেশন: \( n C r = \dfrac{n!}{r! (n - r)!} \)

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ n P 3 = 2 \times n C 4 \] এখন, এর মান গুলো বসিয়ে দিই:

\[ \dfrac{n!}{(n - 3)!} = 2 \times \dfrac{n!}{4! (n - 4)!} \]

বাম দিকে ও ডান দিকে n! থাকায়, তা কেটে যাবে (n ≠ 0):

\[ \dfrac{1}{(n - 3)!} = 2 \times \dfrac{1}{4! (n - 4)!} \]

4! = 24, তাই:

\[ \dfrac{1}{(n - 3)!} = 2 \times \dfrac{1}{24 (n - 4)!} \]

এখন, (n - 3)! = (n - 3)(n - 4)! এর মাধ্যমে রূপান্তর করি:

\[ \dfrac{1}{(n - 3)(n - 4)!} = 2 \times \dfrac{1}{24 (n - 4)!} \] নোট করুন যে, (n - 4)! উভয় পাশে থাকায় কেটে যাবে:

\[ \dfrac{1}{n - 3} = \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12} \] এখন, সমাধান করি:

\[ n - 3 = 12 \] \[ n = 12 + 3 = 15 \] অতএব, n এর মান হচ্ছে 15।