যদি x < 1 হয় তবে 1 + 2x + 3x² + 4x³ +.........+ a ধারার যোগফল হবে ? 

ধরা যাক, ধারা হলো:

\[ S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n-1} + \dots \]

এটি একটি সাধারণ ধারা যেখানে প্রতিটি পদে ক্রমাগত সংখ্যা এবং এক্স এর পাওয়ার রয়েছে।

এখন, চলুন প্রথমে ধারা \(\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}\) এর সমাধান করি।

আমাদের লক্ষ্য হলো এই ধারের যোগফল নির্ণয় করা।

প্রথমে, মনে করি:

\[ f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1 - x} \quad \text{(যখন } |x| < 1) \]

এখন, এই সমাধানটি থেকে, আমরা ধারা \(\sum_{n=1}^\infty n x^{n}\) এর জন্য differentiate করব।

দুটি সমাধান সমাধানের জন্য ধারা:

\[ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{1 - x} \right) \]

এখানে:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{1 - x} \right) = \frac{(1 - x) - x(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{1 - x + x}{(1 - x)^2} = \frac{1}{(1 - x)^2} \]

অতএব, ধারা \(\sum_{n=1}^\infty n x^{n}\) এর যোগফল হলো:

\[ \sum_{n=1}^\infty n x^{n} = \frac{1}{(1 - x)^2} \quad \text{(যখন } |x| < 1) \]

এখন, আমাদের মূল ধারা হলো:

\[ S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \]

এটি মূলত:

\[ S = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} \]

সুতরাং, যদি আমরা \(\sum_{n=1}^\infty n x^{n}\) এর যোগফল পেয়ে থাকি, তাহলে:

\[ \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infty n x^{n} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{(1 - x)^2} \]

অর্থাৎ, মূল ধারা এর জন্য:

\[ S = \frac{1}{(1 - x)^2} \]

তাই, যদি \( x < 1 \), তাহলে এই ধারার যোগফল হবে:

\[ \boxed{\frac{1}{(1 - x)^2}} \]