\( (1+1)^3 + (2+2)^3 + (3+3)^3 + \dots + (10+10)^3 \) এর মান কোনটি?
প্রশ্ন: \( (1+1)^3 + (2+2)^3 + (3+3)^3 + \dots + (10+10)^3 \) এর মান কোনটি?
সমাধান:
আমরা প্রদত্ত ধারাটিকে এভাবে লিখতে পারি:
\( (1+1)^3 + (2+2)^3 + (3+3)^3 + \dots + (10+10)^3 \)
\( = (2)^3 + (4)^3 + (6)^3 + \dots + (20)^3 \)
এখন, আমরা প্রত্যেকটি পদ থেকে \(2^3\) কমন নিতে পারি:
\( = 2^3 [1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3] \)
\( = 8 [1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3] \)
আমরা জানি, প্রথম \(n\) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি \( \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \)। সুতরাং,
\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3 = \left[ \frac{10(10+1)}{2} \right]^2 \)
\( = \left[ \frac{10 \times 11}{2} \right]^2 \)
\( = [5 \times 11]^2 \)
\( = 55^2 \)
\( = 3025 \)
অতএব, নির্ণেয় মান:
\( = 8 \times 3025 \)
\( = 24200 \)
কিন্তু উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, আমরা \( 8 \times 55^2 \) কে অন্যভাবে লিখতে পারি:
দেওয়া আছে \( 8 \times 55^2 \), কিন্তু আমাদের দরকার \( 8 \times 3025 \)..
তাহলে উত্তরটি সম্ভবত \( 8 \times 3025 = 24200 \) হবে।
যদি প্রশ্নপত্রে \( 8 \times 55^2 \) এর বদলে \( 8 \times (1^3 + 2^3 + ... + 10^3) \) থাকতো, তাহলে সরাসরি \( 8 \times 3025 \) লেখা যেত।
সুতরাং সঠিক উত্তর \(24200\). 🤔
```