কোন তাপমাত্রায় একটি হাইড্রোজেন অণুর r.m.s বেগ, 47°C তাপমাত্রায় একটি অক্সিজেন অণুর r.m.s বেগের সমান হবে?

প্রথমে, আমরা জানি যে, গ্যাসের অণুর r.m.s (root mean square) বেগ নির্ণয় করার জন্য ব্যবহার করা হয়:

\[ v_{rms} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} \]

যেখানে,

• \( R \) = গ্যাসের ধ্রুবক = 8.314 J/(mol·K),
• \( T \) = তাপমাত্রা (কেলভিনে),
• \( M \) = অণুর মৌলিক ভর (কেজেলে)।

এখন, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, হাইড্রোজেন (H\(_2\)) এর r.m.s বেগ, 47°C তাপমাত্রায় অক্সিজেন (O\(_2\)) এর r.m.s বেগের সমান হবে। অর্থাৎ,

\[ v_{rms}^{H_2} = v_{rms}^{O_2} \]

তাই,

\[ \sqrt{\dfrac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\dfrac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} \]

এখানে, \( T_{H_2} \) হলো সেই তাপমাত্রা যেখানে এই সমতা হয়, এবং \( T_{O_2} = 47 + 273 = 320\,K \) (কারণ তাপমাত্রা °C থেকে K এ রূপান্তর করা হয়)।

এখন, উভয় পাশে স্কয়ার করি:

\[ \dfrac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}} = \dfrac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}} \]

এখানে, 3R উভয় পাশে রয়েছে, সুতরাং তা কেটে যায়:

\[ \dfrac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \dfrac{T_{O_2}}{M_{O_2}} \]

এখন, হাইড্রোজেনের মৌলিক ভর \( M_{H_2} = 2\,g/mol = 2 \times 10^{-3}\,kg/mol \).

অক্সিজেনের মৌলিক ভর \( M_{O_2} = 32\,g/mol = 32 \times 10^{-3}\,kg/mol \).

তাই:

\[ T_{H_2} = T_{O_2} \times \dfrac{M_{H_2}}{M_{O_2}} \]

প্রতিস্থাপন করে:

\[ T_{H_2} = 320 \times \dfrac{2 \times 10^{-3}}{32 \times 10^{-3}} = 320 \times \dfrac{2}{32} = 320 \times \dfrac{1}{16} = 20\,K \]

অতএব, হাইড্রোজেনের রুট মীন স্কোয়ার বেগ 47°C তাপমাত্রায় অক্সিজেনের সমান হবে যখন তাপমাত্রা হবে **20 K**।