P ও Q সমবিন্দু বল্ দুটি পরস্পর ক্রিয়ারত alpha কোণে ক্রিয়ারত

1.  alpha =0 হলে এদের লব্ধি বৃহত্তম হয়।
2.  alpha=pi  হলে লব্ধি ক্ষুদ্রতম হয়
3.  alpha=pi/2  হলে লব্ধি sqrt(P^2+Q^2)  হয়

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নের বিবরণ অনুযায়ী, P ও Q সমবিন্দু বল (vector) এবং তারা পরস্পর ক্রিয়ারত (perpendicular) কোণে ক্রিয়ারত। এখানে আমাদের লক্ষ্য হলো তাদের লব্ধি বা ম্যাগনিটিউডের বৈচিত্র্য নির্ণয়। ধরা যাক, P এবং Q দুটি ভেক্টর। তাদের কোণে α। **প্রশ্নের তিনটি বিবৃতি:** i. যদি α = 0 হয়, তাহলে তাদের লব্ধি বৃহত্তম হয়। ii. যদি α = π হয়, তাহলে তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতম হয়। iii. যদি α = π/2 হয়, তাহলে তাদের লব্ধি \(\sqrt{P^2 + Q^2}\) হয়। --- ### সমাধান: 1. **ভেক্টরসমূহের যোগফল (অথবা লব্ধি):** \[ R = P + Q \] 2. **লব্ধির মান:** \[ |R| = \sqrt{(P_x + Q_x)^2 + (P_y + Q_y)^2} \] অথবা, ভেক্টরসমূহের মানগুলি ব্যবহার করাই সহজ। উপরে, P, Q এর দৈর্ঘ্য বা ম্যাগনিটিউড: \[ |P| = P, \quad |Q| = Q \] 3. **ভেক্টর যোগের মান:** \[ |P + Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 + 2|P||Q|\cos \alpha \] অতএব, \[ |P + Q| = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha} \] --- ### পর্যবেক্ষণ: - যখন \(\cos \alpha = 1\), অর্থাৎ \(\alpha = 0\), তখন: \[ |P + Q| = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ} = P + Q \] এটি সর্বোচ্চ মান। অর্থাৎ, **অবশ্যই**, যখন \(\alpha = 0\), তখন লব্ধি বা যোগফলের মান সর্বোচ্চ হয়। এটি **উচিত**। - যখন \(\cos \alpha = -1\), অর্থাৎ \(\alpha = \pi\), তখন: \[ |P + Q| = \sqrt{P^2 + Q^2 - 2PQ} = |P - Q| \] এটি ক্ষুদ্রতম মান, যখন ভেক্টরগুলো পরস্পর বিপরীত দিকের। অর্থাৎ, **অবশ্যই**, যখন \(\alpha = \pi\), তখন লব্ধি ক্ষুদ্রতম হয়। - যখন \(\alpha = \pi/2\), \(\cos \alpha = 0\), ফলে: \[ |P + Q| = \sqrt{P^2 + Q^2} \] অর্থাৎ, **এটি সত্য**, কারণ এই সময়ে ভেক্টরগুলো পরস্পর লম্ব। --- ### **উপসংহার:** উপরোক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, তিনটি বিবৃতি সবই সত্য। **অর্থাৎ, সঠিক উত্তর হলো:** **i, ii ও iii** --- ### **উত্তর:** ```html

প্রশ্নের বিবরণ অনুযায়ী, P ও Q সমবিন্দু বল (vector) এবং তারা পরস্পর ক্রিয়ারত (perpendicular) কোণে ক্রিয়ারত। তাদের লব্ধি বা ম্যাগনিটিউডের বৈচিত্র্য নির্ণয় করতে হলে, আমরা নিম্নলিখিত বিশ্লেষণ করি।

সমাধান:

ধরা যাক, P এবং Q ভেক্টর। তাদের কোণ α।

ভেক্টরসমূহের যোগফল:

R = P + Q

লব্ধির মান:

|R| = √[(P_x + Q_x)2 + (P_y + Q_y)2]

অথবা, ভেক্টর এর মান দ্বারা:

 |P| = P,  |Q| = Q 

ভেক্টর যোগের মান:

 |P + Q|2 = P2 + Q2 + 2PQ cos α 

অতএব,

 |P + Q| = √(P2 + Q2 + 2PQ cos α) 

বিশ্লেষণ:

• যখন α = 0, তখন cos α = 1,
  => |P + Q| = √(P² + Q² + 2PQ) = P + Q
  এটি সর্বোচ্চ মান।
• যখন α = π, তখন cos α = -1,
  => |P + Q| = √(P² + Q² - 2PQ) = |P - Q|
  এটি ক্ষুদ্রতম মান।
• যখন α = π/2, তখন cos α = 0,
  => |P + Q| = √(P² + Q²)

উপসংহার:

উপরোক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, তিনটি বিবৃতি সবই সত্য। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: i, ii ও iii.

```