k এর কোন মানের জন্য (x - y + 3)² + (kx + 2)(y - 1) = 0 সমীকরণটি একটি বৃত্ত হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): k এর মান নির্ণয় করতে হবে যেন প্রদত্ত সমীকরণটি একটি বৃত্ত হয়: \( (x - y + 3)^2 + (kx + 2)(y - 1) = 0 \) প্রথমে সম???করণটি বিস্তৃত করা যাক: \( (x^2 + y^2 + 9 - 2xy + 6x - 6y) + (kxy - kx + 2y - 2) = 0 \) \( x^2 + y^2 + 9 - 2xy + 6x - 6y + kxy - kx + 2y - 2 = 0 \) \( x^2 + y^2 + (k - 2)xy + (6 - k)x - 4y + 7 = 0 \) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) প্রদত্ত সমীকরণটিকে বৃত্ত হতে হলে, \( xy \) এর সহগ 0 হতে হবে। অন্যথায়, এটি একটি বৃত্ত হবে না। সুতরাং, \( k - 2 = 0 \) \( k = 2 \) এখন, \( k = 2 \) বসালে সমীকরণটি হয়: \( x^2 + y^2 + (6 - 2)x - 4y + 7 = 0 \) \( x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0 \) এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যেখানে \( g = 2 \), \( f = -2 \) এবং \( c = 7 \)। বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) = (-2, 2) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 - 7} = \sqrt{4 + 4 - 7} = \sqrt{1} = 1 \) যেহেতু ব্যাসার্ধ বাস্তব এবং অশূন্য, তাই \( k = 2 \) এর জন্য সমীকরণটি একটি বৃত্ত হবে। 🎉 অতএব, \( k = 2 \) 😊।