100 kg ভরের একটি পাথরকে ক্রেনের সাহায্যে 0.1 ms বেগে ছাদের উপর উঠালে ক্রেনের ক্ষমতা কত?

সমাধান:

প্রথমে, ক্রেনের ক্ষমতা নির্ণয় করতে হলে আমাদের প্রথমে কাজের পরিমাণ (Work) এবং সময় (Time) জানা প্রয়োজন।

দেওয়া তথ্য:

• ভর, \( m = 100\,kg \)
• গতিবেগ, \( v = 0.1\,m/s \)
• সময়, \( t = 0.1\,ms = 0.1 \times 10^{-3}\,s = 10^{-4}\,s \)

প্রথম ধাপ: ক্রেনের দ্বারা উপরে উঠানোর জন্য কাজ নির্ণয়:

কাজের সূত্রঃ

\( W = \text{শক্তি} = \text{উচ্চতা} \times \text{তরল শক্তি} \)

তবে, এখানে আমরা উচ্চতা নির্ণয় করব প্রথমে।

উচ্চতা নির্ণয়:

ভর, \( m = 100\,kg \)

বেগ, \( v = 0.1\,m/s \)

অর্থাৎ, পাথরটি ছাদের উপর উঠানোর জন্য মোট কৃত কাজ মূলতঃ পাথরটির ভর ও উচ্চতা অনুযায়ী হবে।

উচ্চতা নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে আমরা ক্ষিপ্রগতির জন্য কাজের হিসাব করব।

1. কেয়ার কাজ (Potential energy):

\( PE = m \times g \times h \)

2. গতিশক্তি (Kinetic energy):

\( KE = \frac{1}{2} m v^2 \)

সুতরাং, মোট কাজ (Work) হবে:

\( W_{total} = PE + KE = m g h + \frac{1}{2} m v^2 \)

এখানে, উচ্চতা \( h \) নির্ণয় করতে হবে। তবে, আমরা \( h \) জানিনা, তাই প্রথমত, আমরা ধরি যে, পাথরটি কেবলমাত্র উচ্চতায় তুলতে হয়েছে, অর্থাৎ, কাজের মূল অংশ হলো Potential energy।

তাহলে, কাজের মান:

তবে, এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, পাথরটি একই সময়ে উচ্চতা বাড়াচ্ছে এবং বেগে চলাচল করছে।

তাই, ক্রেনের শক্তি (Power) নির্ণয়ের জন্য, কাজের হার বা শক্তি (Power) প্রয়োজন।

Power (শক্তি):

\( P = \frac{W}{t} \)

কাজের মান নির্ণয়:

প্রথমে, উচ্চতা \( h \) নির্ণয় করি।

প্রথমত, পাথরটি 0.1 m/s বেগে চলতে থাকলে, তার গতিশক্তি:

\( KE = \frac{1}{2} \times 100\,kg \times (0.1\,m/s)^2 = 0.5 \times 100 \times 0.01 = 0.5\,J \)

এবং উচ্চতায় তুললে, মোট কাজ হবে:

\( W = PE + KE = 100 \times 9.8 \times h + 0.5 \)

তাহলে, যদি ধরি যে, মূলত কাজের বড় অংশটি উচ্চতায় তুলতে ব্যয় হয়, এবং বেগের কারণে অতিরিক্ত শক্তি লাগছে, তবে কাজের মোট মান হবে:

অতএব, কাজের মান:

\( W \approx 100 \times 9.8 \times h + 0.5 \)

এখন, উচ্চতা \( h \) নির্ণয় করতে, আমরা পা??রটি উপরের দিকে তুলতে কত সময় লাগবে সেটি জানি:

সময়, \( t = 10^{-4}\,s \)

সুতরাং, Power:

\( P = \frac{W}{t} \approx \frac{100 \times 9.8 \times h + 0.5}{10^{-4}} \)

অতএব, যদি কাজের মান 98 W হয়, তাহলে:

উচ্চতা \( h \) নির্ণয় করি:

\( 98 = \frac{100 \times 9.8 \times h + 0.5}{10^{-4}} \)

এখানে,

\( 98 \times 10^{-4} = 100 \times 9.8 \times h + 0.5 \)

\( 0.0098 = 980 \times h + 0.5 \)

এখানে, ধরা হয় \( 0.0098 \) তুলনামূলকভাবে ছোট, তাই মূলতঃ:

\( 980 \times h \approx -0.4902 \)