y=alphax-1 রেখাটি  y=x^2+3 পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে alpha  এর মান কোনটি?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, সরলরেখা \( y = \alpha x - 1 \) এবং পরাবৃত্ত \( y = x^2 + 3 \)। সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত হলো, সরলরেখা ও পরাবৃত্তের ছেদবিন্দুতে একটি মাত্র সমাধান থাকবে। \( y \) এর মান বসিয়ে পাই, \[ \alpha x - 1 = x^2 + 3 \] \[ x^2 - \alpha x + 4 = 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। যেহেতু সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই এই সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ, সমীকরণটির নিশ্চয়ক (discriminant) শূন্য হবে। নিশ্চয়ক, \( D = b^2 - 4ac = 0 \) এখানে, \( a = 1 \), \( b = -\alpha \), \( c = 4 \) \[ (-\alpha)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \] \[ \alpha^2 - 16 = 0 \] \[ \alpha^2 = 16 \] \[ \alpha = \pm \sqrt{16} \] \[ \alpha = \pm 4 \] সুতরাং, \( \alpha \) এর মান \( \pm 4 \)। 🎉