m এর মান কত হলে, y = 4x+1 রেখাটি y² = 8 mx পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত রেখাটি হলো: \[ y = 4x + 1 \] এবং পরাবৃত্তির সমীকরণ হলো: \[ y^{2} = 8mx \] আমরা জানি, রেখাটি যখন পরাবৃত্তিকে স্পর্শ করে, তখন রেখার সাথে পরাবৃত্তির সম্পর্কটি টানজোড়া হয়। অর্থাৎ, রেখা ও পরাবৃত্তির সমীকরণের সমাধান একক হয়। প্রথমে, রেখাটি থেকে \( y \) এর মান স্থানান্তর করি: \[ y = 4x + 1 \] এবং এটি পরাবৃত্তির সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: \[ (4x + 1)^2 = 8mx \] বিন্যাস করি: \[ (4x + 1)^2 = 8mx \] \[ 16x^2 + 8x + 1 = 8mx \] এখন, সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি: \[ 16x^2 + 8x + 1 - 8mx = 0 \] \[ 16x^2 + (8 - 8m)x + 1 = 0 \] এটি একটি দ্বৈতবহুপদী সমাধানসমূহের জন্য, এর ডিটারমিন্যান্ট শর্ত অনুযায়ী, স্পর্শ করার জন্য, ডিটারমিন্যান্ট শর্তটি শূন্য হতে হবে: \[ \Delta = 0 \] ডিটারমিন্যান্ট: \[ \Delta = (8 - 8m)^2 - 4 \times 16 \times 1 \] \[ = 64(1 - m)^2 - 64 \] একই রূপে লিখি: \[ \Delta = 64[(1 - m)^2 - 1] \] স্পর্শের জন্য: \[ \Delta = 0 \] অর্থাৎ: \[ (1 - m)^2 - 1 = 0 \] \[ (1 - m)^2 = 1 \] \[ 1 - m = \pm 1 \] প্রথম ক্ষেত্রে: \[ 1 - m = 1 \Rightarrow m = 0 \] দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: \[ 1 - m = -1 \Rightarrow m = 2 \] তাই, যখন \( m = 0 \) বা \( m = 2 \), রেখাটি পরাবৃত্তিকে স্পর্শ করবে। উত্তর অনুযায়ী, **m এর মান কত হলে** রেখাটি স্পর্শ করে? উত্তর: **2**