\( y^2 = 4x \) পরাবৃত্ত এবং \( y = x \) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান

প্রদত্ত দুটি সমীকরণ:

• পরাবৃত্ত: \( y^2 = 4x \)
• সরলরেখা: \( y = x \)

ধাপ ১: ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয়

প্রথমে, দুই সমীকরণের ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি:

\[ y^2 = 4x \quad \text{এবং} \quad y = x \] প্রতিস্থাপন করি \( y = x \) এ: \[ x^2 = 4x \] \[ x^2 - 4x = 0 \] \[ x(x - 4) = 0 \] অতএব, \( x = 0 \) অথবা \( x = 4 \) এখন, \( y = x \), তাই ছেদ বিন্দুগুলি: \[ \text{যখন } x=0, \quad y=0 \] \[ \text{যখন } x=4, \quad y=4 \] সুতরাং, ক্ষেত্রের সীমা বিন্দুগুলি হলো: \((0,0)\) থেকে \((4,4)\).

ধাপ ২: ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

এই ক্ষেত্রটি দুইটি সমাধান রেখা দ্বারা বিভক্ত। এখানে, উপরের রেখা হল \( y = x \) এবং নিচের রেখা হল \( y^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{y^2}{4} \)। এখানে, \( y \) মান 0 থেকে 4 পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, আমরা দুটি রেখার মধ্যে ইন্টিগ্রাল করব: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \int_{y=0}^{4} \left[ \text{উপরের রেখা} - \text{নিচের রেখা} \right] dy \] উপরের রেখা: \( x = y \) নিচের রেখা: \( x = \frac{y^2}{4} \) অতএব, \[ A = \int_{0}^{4} ( y - \frac{y^2}{4} ) dy \] প্রথমে, এই ইন্টিগ্রাল সমাধান করি: \[ A = \int_{0}^{4} y\, dy - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} y^2\, dy \] প্রতিটি ইন্টিগ্রাল আলাদাভাবে সমাধান করি: \[ \int_{0}^{4} y\, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = \frac{16}{2} = 8 \] \[ \int_{0}^{4} y^2\, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^4 = \frac{64}{3} \] অতএব, \[ A = 8 - \frac{1}{4} \times \frac{64}{3} = 8 - \frac{64}{12} = 8 - \frac{16}{3} \] সমান করে লিখলে: \[ A = \frac{24}{3} - \frac{16}{3} = \frac{8}{3} \] সুতরাং, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো: \[ \boxed{\frac{8}{3}} \] উত্তর: \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।