\( y = \alpha x - 1 \) রেখাটি \( y = x^2 + 3 \) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে \( \alpha \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, দেওয়া রেখা ও পরাবৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ y = \alpha x - 1 \] \[ y = x^2 + 3 \] যেহেতু রেখা ও পরাবৃত্তের স্পর্শক হয়, তাই তাদের সমাধান একমাত্র হবে। অর্থাৎ, একক সমাধান হবে যখন: \[ \alpha x - 1 = x^2 + 3 \] অথবা, \[ x^2 - \alpha x + 4 = 0 \] এখন, এই বিঞ্জগণিত সমীকরণের জন্য, স্পর্শক হওয়ার জন্য, এর ডিসক্রিমিন্যান্ট \(D\) শূন্য হতে হবে: \[ D = b^2 - 4ac \] এখানে, \[ a = 1, \quad b = -\alpha, \quad c = 4 \] অতএব, \[ D = (-\alpha)^2 - 4 \times 1 \times 4 = \alpha^2 - 16 \] স্পর্শক হওয়ার জন্য, \[ D = 0 \] অর্থাৎ, \[ \alpha^2 - 16 = 0 \] \[ \Rightarrow \alpha^2 = 16 \] \[ \Rightarrow \alpha = \pm 4 \] অতএব, \(\alpha\) এর মান হলো \(\boxed{\pm 4}\)।