m এর মান কত হলে \( y = mx + c \) সরলরেখাটি \( y^2 = 4x \) পরাবৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে?
দেওয়া আছে, সরলরেখা \( y = mx + c \) এবং পরাবৃত্ত \( y^2 = 4x \)।
সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করলে, সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে।
সরলরেখা \( y = mx + c \) কে পরাবৃত্ত \( y^2 = 4x \) এর সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
\( (mx + c)^2 = 4x \)
\( m^2x^2 + 2mcx + c^2 = 4x \)
\( m^2x^2 + (2mc - 4)x + c^2 = 0 \)
যেহেতু সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে, তাই এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মাত্র সমাধান থাকবে। এর মানে হলো, সমীকরণটির নিশ্চয়ক (discriminant) শূন্য হবে।
নিশ্চয়ক, \( D = b^2 - 4ac = 0 \)
এখানে, \( a = m^2 \), \( b = 2mc - 4 \), এবং \( c = c^2 \)।
সুতরাং, \( (2mc - 4)^2 - 4(m^2)(c^2) = 0 \)
\( 4m^2c^2 - 16mc + 16 - 4m^2c^2 = 0 \)
\( -16mc + 16 = 0 \)
\( 16mc = 16 \)
\( mc = 1 \)
\( c = \frac{1}{m} \)
এখন, \( y = mx + c \) সরলরেখাটি \( y^2 = 4x \) পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত হলো \( c = \frac{a}{m} \), যেখানে \( y^2 = 4ax \) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
এখানে, \( a = 1 \)। সুতরাং, \( c = \frac{1}{m} \)।
অতএব, সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে একটি বিন্দুতে ছেদ করার শর্ত হলো \( c = \frac{1}{m} \)।
যদি \( m = 0 \) হয়, তবে \( y = c \) হবে একটি সরলরেখা যা x অক্ষের সমান্তরাল। এই সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে যদি \( c = 0 \) হয়। কিন্তু \( c = \frac{1}{m} \) এর জন্য \( m = 0 \) গ্রহণযোগ্য নয়।
এখন, \( y = mx + \frac{1}{m} \) হলে,
\( (mx + \frac{1}{m})^2 = 4x \)
\( m^2x^2 + 2x + \frac{1}{m^2} = 4x \)
\( m^2x^2 - 2x + \frac{1}{m^2} = 0 \)
নিশ্চয়ক \( D = (-2)^2 - 4(m^2)(\frac{1}{m^2}) = 4 - 4 = 0 \)
সুতরাং, \( c = \frac{1}{m} \) হলে সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
যেহেতু প্রশ্নে \( m \) এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে এবং \( c \) এর মান \( m \) এর মাধ্যমে প্রকাশিত, তাই \( m \) এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে (শূন্য বাদে)।
তবে, প্রশ্নটি সম্ভবত \( c \) এর মান জানতে চেয়েছিল। সেক্ষেত্রে উত্তর হতো \( c = 1/m \)।
যদি \( m \) এর একটি নির্দিষ্ট মান জানতে চাওয়া হয়, তবে \( c \) এর একটি নির্দিষ্ট মান দেওয়া থাকতে হবে। অন্যথায়, \( m \) এর মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
যদি \( c = 0 \) হয়, তবে \( m \) এর মান অসীম হবে, যা গ্রহণযোগ্য নয়।
যদি প্রশ্নটি অন্যরকম হয়ে থাকে, তবে অনুগ্রহ করে সম্পূর্ণ প্রশ্নটি উল্লেখ করুন।🤔
```