\( y^2=9x \) পরাবৃত্তের (4,6) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y^2 = 9x \) পরাবৃত্তের (4,6) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো। উত্তর: \( 3x - 4y + 12 = 0 \) --- প্রথমে, পরাবৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ y^2 = 9x \] অথবা, \[ x = \frac{y^2}{9} \] আমরা জানি যে, স্পর্শকের ধ্রুবক সমীকরণ সাধারণত: \[ y = mx + c \] অথবা, পরাবৃত্তের টাংসেন্টের সমীকরণ ধরা যাক: \[ y = mx + c \] এবং স্পর্শকের জন্য পরাবৃত্তের গুণফল সূত্র ব্যবহার করি। --- ### ধাপ 1: স্পর্শকের ধ্রুবক \( c \) নির্ণয় আমরা জানি যে, স্পর্শকের বিন্দু (4,6) এ স্পর্শক অঙ্কিত হবে, সুতরাং: \[ 6 = m \times 4 + c \] \[ c = 6 - 4m \] --- ### ধাপ 2: স্পর্শকের সমীকরণ: \[ y = m x + (6 - 4m) \] --- ### ধাপ 3: পরাবৃত্তের উপর এই স্পর্শকটি অঙ্কিত হবে, তাই এই রেখা ও পরাবৃত্তের মধ্যে টাচ পয়েন্টে সমতুল্য হবে। এজন্য, রেখাটির সমীকরণ পরাবৃত্তের সমীকরণের সাথে সমাধান করি। --- ### ধাপ 4: রেখাকে পরাবৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন: \[ y^2 = 9x \] এবং \[ y = m x + (6 - 4m) \] অর্থাৎ, \[ (m x + 6 - 4m)^2 = 9x \] --- ### ধাপ 5: সমাধান করা: \[ (m x + 6 - 4m)^2 = 9x \] বর্গফলটি খুলি: \[ m^2 x^2 + 2 m x (6 - 4m) + (6 - 4m)^2 = 9x \] \[ m^2 x^2 + 2 m x (6 - 4m) + (6 - 4m)^2 - 9x = 0 \] --- ### ধাপ 6: টাচ পয়েন্টের জন্য, এই সমীকরণের \( x \) এর জন্য একক সমাধান থাকতে হবে। অর্থাৎ, এটি একটি কোয়াড্রাটিক সমীকরণ \( x \) এর উপর, যার ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য। কোয়াড্রাটিকের সাধারণ রূপ: \[ a x^2 + b x + c = 0 \] এখানে, \[ a = m^2 \] \[ b = 2 m (6 - 4m) - 9 \] \[ c = (6 - 4m)^2 \] --- ### ধাপ 7: ডিসক্রিমিন্যান্ট \( D \): \[ D = b^2 - 4 a c \] প্রতিস্থাপন করি: \[ D = [2 m (6 - 4m) - 9]^2 - 4 m^2 (6 - 4m)^2 \] --- ### ধাপ 8: সমাধান করি \( D = 0 \): \[ [2 m (6 - 4m) - 9]^2 = 4 m^2 (6 - 4m)^2 \] বর্গ উভয় পক্ষের: \[ [2 m (6 - 4m) - 9]^2 = [2 m (6 - 4m)]^2 \] এখানে, \( 2 m (6 - 4m) \) এর সাথে \( -9 \) যোগ বা বিয়োগ থাকলে, নিশ্চিত করতে হবে। --- ### ধাপ 9: সরলীকরণ: প্রথমে, \[ A = 2 m (6 - 4m) = 12 m - 8 m^2 \] অতএব, \[ ( A - 9 )^2 = 4 m^2 (6 - 4m)^2 \] অথবা, \[ (12 m - 8 m^2 - 9)^2 = 4 m^2 (6 - 4m)^2 \] --- ### ধাপ 10: বর্গফল সূত্রে বর্গগুলো উন্মোচন করি: \[ (12 m - 8 m^2 - 9)^2 = [12 m - 8 m^2 - 9]^2 \] এবং, \[ 4 m^2 (6 - 4m)^2 = 4 m^2 (36 - 48 m + 16 m^2) \] অর্থাৎ, \[ 4 m^2 (36 - 48 m + 16 m^2) = 144 m^2 - 192 m^3 + 64 m^4 \] --- ### ধাপ 11: অন্যদিকে, \[ (12 m - 8 m^2 - 9)^2 \] এটি expand করি: \[ (12 m - 8 m^2 - 9)^2 = (12 m)^2 + (-8 m^2)^2 + (-9)^2 + 2 \times 12 m \times (-8 m^2) + 2 \times 12 m \times (-9) + 2 \times (-8 m^2) \times (-9) \] \[ = 144 m^2 + 64 m^4 + 81 + (-192 m^3) + (-216 m) + (144 m^2) \] সংকলন করি: \[ 64 m^4 + (144 m^2 + 144 m^2) + 81 - 192 m^3 - 216 m \] \[ = 64 m^4 + 288 m^2 + 81 - 192 m^3 - 216 m \] --- ### ধাপ 12: এখন, সমীকরণ: \[ 64 m^4 + 288 m^2 + 81 - 192 m^3 - 216 m = 144 m^2 - 192 m^3 + 64 m^4 \] অতএব, \[ 64 m^4 + 288 m^2 + 81 - 192 m^3 - 216 m = 144 m^2 - 192 m^3 + 64 m^4 \] উভয় পাশে \( 64 m^4 \) ও \( -192 m^3 \) থাকায়, সরলীকরণ করি: \[ (64 m^4 - 64 m^4) + (288 m^2 - 144 m^2) + 81 - 216 m = 0 \] \[ 0 + 144 m^2 + 81 - 216 m = 0 \] --- ### ধাপ 13: সরলীকরণ: \[ 144 m^2 - 216 m + 81 = 0 \] এই কোয়াড্রাটিক সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 144 m^2 - 216 m + 81 = 0 \] প্রতিস্থাপন: \[ m^2 - \frac{3}{2} m + \frac{81}{144} = 0 \] বা, \[ m^2 - \frac{3}{2} m + \frac{9}{16} = 0 \] --- ### ধাপ 14: ডিসক্রিমিন্যান্ট: \[ D_m = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{9}{16} = \frac{9}{4} - \frac{36}{16} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0 \] অর্থাৎ, সমাধান একক। তাই, \[ m = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4} \] --- ### ধাপ 15: \( c \) নির্ণয়: \[ c = 6 - 4 m = 6 - 4 \times \frac{3}{4} = 6 - 3 = 3 \] --- ### ধাপ 16: স্পর্শকের সমীকরণ: \[ y = m x + c = \frac{3}{4} x + 3 \] অথবা, সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখলে: \[ 4 y = 3 x + 12 \] অথবা, \[ 3 x - 4 y + 12 = 0 \] --- **অতএব,** পরাবৃত্তের বিন্দু (4,6) এ অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ হল: \[ \boxed{3x - 4y + 12 = 0} \]