y = 4x + c সরলরেখাটি y² = 32x বক্ররেখাটিকে স্পর্শ করলে c এর মান কত?

প্রশ্ন: y = 4x + c সরলরেখাটি y² = 32x বক্ররেখাটিকে স্পর্শ করলে c এর মান কত?

সমাধান:

ধরা যাক, সরলরেখা: \( y = 4x + c \)।

বক্ররেখা: \( y^2 = 32x \)।

প্রথমে, সরলরেখাকে \( y \) এর রূপে রাখি:

\[ y = 4x + c \]

এখন, \( y \) কে \( y^2 \) এর স্থানে রাখি:

\[ (4x + c)^2 = 32x \]

বর্গফল ভাঙি:

\[ 16x^2 + 8cx + c^2 = 32x \]

এখন, সমীকরণটি শূন্যের সমান করতে সব পাশে 0 রাখি:

\[ 16x^2 + 8cx + c^2 - 32x = 0 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \( 16x^2 + (8c - 32)x + c^2 = 0 \)।

বক্ররেখাটিকে স্পর্শ করতে হলে, এই সমীকরণের জন্য \( x \)-এর জন্য একমাত্র সমাধান থাকতে হবে, অর্থাৎ, এর ডেলটা 0 হওয়া উচিত:

\[ \Delta = (8c - 32)^2 - 4 \times 16 \times c^2 = 0 \]

ডেলটা হিসাব করি:

\[ (8c - 32)^2 - 64 c^2 = 0 \]

\[ (8c)^2 - 2 \times 8c \times 32 + 32^2 - 64 c^2 = 0 \]

\[ 64 c^2 - 512 c + 1024 - 64 c^2 = 0 \]

সব কিছু সংক্ষেপে:

\[ -512 c + 1024 = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ 512 c = 1024 \]

অতএব,

\[ c = \frac{1024}{512} = 2 \]

অতএব, c এর মান হলো 2.