যদি y=2x+b রেখাটি y²=16x প্যারাবোলাকে স্পর্শ করে তবে b=?

সমাধান:

প্রদত্ত রেখা: \( y = 2x + b \)

প্রদত্ত প্যারাবোলা: \( y^2 = 16x \)

যেহেতু রেখাটি প্যারাবোলাকে স্পর্শ করে, তাই রেখাটি প্যারাবোলার টাংজেন্ট হবে।

ধাপ ১: রেখাটির সমীকরণ দিয়ে y প্রকাশ:

y = 2x + b

ধাপ ২: y এর মান প্যারাবোলার সমীকরণে বসানো:

y^2 = 16x
(2x + b)^2 = 16x

ধাপ ৩: সমীকরণটি সম্পাদনা করা:

(2x + b)^2 = 16x

4x^2 + 4bx + b^2 = 16x

ধাপ ৪: এটি একটি রৈখিক সমাধান হিসেবে বিবেচনা করলে, এটি স্পর্শ করতে হলে, এই সমীকরণের জন্য x এর মানে একক সমাধান থাকতে হবে। অর্থাৎ, ডিসক্রিমিন্যান্ট 0 হওয়া উচিত।

ধাপ ৫: সমাধানটি:

4x^2 + 4bx + (b^2 - 16x) = 0

এখানে, এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:

4x^2 + (4b - 16)x + b^2 = 0

ধাপ ৬: ডিসক্রিমিন্যান্ট নির্ণয়:

\( D = (4b - 16)^2 - 4 \times 4 \times b^2 \)

\( D = (4b - 16)^2 - 16b^2 \)

Expand করো:

\( D = (16b^2 - 128b + 256) - 16b^2 \)

\( D = 16b^2 - 128b + 256 - 16b^2 \)

\( D = -128b + 256 \)

ধাপ ৭: ডিসক্রিমিন্যান্ট 0 হওয়া উচিত:

\( -128b + 256 = 0 \)

=> \( 128b = 256 \)

=> \( b = \frac{256}{128} = 2 \)

উত্তর:

\( \boxed{b = 2} \)