3x^2-kx+4=0  সমীকরণের একটি মূল অপরটির ৩ গুণ হলে k এর মান কত? 

প্রশ্ন: \(3x^2 - kx + 4 = 0\) সমীকরণের একটি মূল অপরটির ৩ গুণ হলে \(k\) এর মান কত?

সমাধান: ধরা যাক, সমীকরণের দুটি মূল হলো \( \alpha \) ও \( \beta \)।

প্রদান অনুযায়ী, যদি একটি মূল অপরটির ৩ গুণ হয়, মানে:

\(\beta = 3\alpha\)

সাধারণ তত্ত্ব অনুযায়ী, সমীকরণের মূলের যোগফল ও গুণফল:

\(\alpha + \beta = -\frac{-k}{3} = \frac{k}{3}\)

\(\alpha \beta = \frac{4}{3}\)

এখন, \(\beta = 3\alpha\) থাকলে, মূলের গুণফল হয়:

\(\alpha \times 3\alpha = 3\alpha^2 = \frac{4}{3}\)

অতএব,

\(\alpha^2 = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}\)

অর্থাৎ,

\(\alpha = \pm \frac{2}{3}\)

এখন, মূলের যোগফল:

\(\alpha + \beta = \alpha + 3\alpha = 4\alpha\)

এবং, এটি সমান:

\(\frac{k}{3} = 4\alpha\)

প্রথম ক্ষেত্রে, \(\alpha = \frac{2}{3}\):

\(\frac{k}{3} = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)

অতএব,

\(\frac{k}{3} = \frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow k = 8\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \(\alpha = -\frac{2}{3}\):

\(\frac{k}{3} = 4 \times -\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}\)

অতএব,

\(\frac{k}{3} = -\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow k = -8\)

অতএব, \(k\) এর মান হতে পারে: \(\pm 8\)।