Z=x+iy হলে  abs(z-5)+abs(z+6) =16  নির্দেশ করে?

প্রশ্ন: Z = x + iy হলে \( |z - 5| + |z + 6| = 16 \) নির্দেশ করে কি?
উত্তর: "Ellipse"

সমাধান:
ধরা যাক, \( z = x + iy \), তাহলে
\( |z - 5| = |(x + iy) - 5| = |(x - 5) + iy| = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2} \)

এবং
\( |z + 6| = |(x + iy) + 6| = |(x + 6) + iy| = \sqrt{(x + 6)^2 + y^2} \)

প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
|z - 5| + |z + 6| = 16
\]
অর্থাৎ,
\[
\sqrt{(x - 5)^2 + y^2} + \sqrt{(x + 6)^2 + y^2} = 16
\]

এটি দুটি বিন্দু \( A(5, 0) \) এবং \( B(-6, 0) \) থেকে সমতলে পয়েন্ট \( (x, y) \) এর দূরত্বের সমষ্টি ১৬। 

বলা যায়, এই সমীকরণটি একটি এলিপ্সের সমীকরণ, যেখানে ফোকাস হলো \( A(5,0) \) এবং \( B(-6,0) \), এবং এর মূল অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 2a \) যেখানে \( a \) হলো অর্ধেক সমষ্টি:

\[
2a = 16 \Rightarrow a = 8
\]

ফোকাসের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
\[
c = \frac{|A - B|}{2} = \frac{|5 - (-6)|}{2} = \frac{11}{2} = 5.5
\]

এবং এলিপ্সের অপর মূল গুণফল:
\[
b^2 = a^2 - c^2 = 8^2 - 5.5^2 = 64 - 30.25 = 33.75
\]

অতএব, সমীকরণটি একটি এলিপ্সের সমীকরণ যা ফোকাস \( A(5, 0) \), \( B(-6, 0) \), এবং প্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্য ১৬ নির্দেশ করে।

সুতরাং, উত্তর: "Ellipse"