C এর কোন‌ মানের জন্য x² + y²+8x+4y+c=0 বৃত্তটি একটি বিন্দুবৃত্ত? (For which value of c the circle x²+y²+8x+4y+c=0 is a point circle?)

প্রশ্ন:

প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 + 8x + 4y + c = 0\) এই বৃত্তটির জন্য কোন মানে \(c\) হলে এটি একটি বিন্দুবৃত্ত হবে?

উত্তর:

একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হল:

\[x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\]

এখানে, কেন্দ্রের সমন্বয় হলো: \((h, k) = (-g, -f)\)

অর্থাৎ, আমাদের সমীকরণে:

অতএব, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো:

বৃত্তের ধনাত্মক আয়তন (অর্থাৎ, রেডিয়াসের বর্গ):

যেহেতু, আমাদের উদ্দেশ্য হলো বৃত্তটি একটি বিন্দুবৃত্ত, অর্থাৎ, এর রেডিয়াসের মান শূন্য। সুতরাং:

উত্তর:

অতএব, \(c = 20\) হলে, বৃত্তটি একটি বিন্দুবৃত্ত হবে।