2x² + 3y² + 7x = 0 সমীকরণটি কী নির্দেশ করে?

সমীকরণের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ:

2x2 + 3y2 + 7x = 0

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উপবৃত্ত (ellipse) বা অন্য কোনও আকার নির্দেশ করে কিনা তা নির্ণয় করতে পারি। প্রথমে, সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে রূপান্তর করি।

ধাপ 1: x এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ রূপান্তর

সমীকরণটি থেকে x এর টার্মগুলো আলাদা করি:

2x2 + 7x + 3y2 = 0

প্রথমে, x এর টার্মগুলোকে সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করতে, সমীকরণের প্রথম দুই টার্মকে 2 দিয়ে ভাগ করি:

2(x2 + (7/2)x) + 3y2 = 0

এখন, x এর টার্মে সম্পূর্ণ বর্গের জন্য যোগ ও বিয়োগ করি:

2\left[x2 + \frac{7}{2}x + \left(\frac{7}{4}\right)^2 - \left(\frac{7}{4}\right)^2\right] + 3y2 = 0

এখানে, \(\left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}\)। সমীকরণটি এখন হয়:

2\left[\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - \frac{49}{16}\right] + 3y^2 = 0

এখন, সমীকরণের প্রত্যেকটি অংশকে বিতরণ করি:

2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - 2 \times \frac{49}{16} + 3y^2 = 0

2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - \frac{98}{16} + 3y^2 = 0

2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 - \frac{49}{8} + 3y^2 = 0

এখন, সমীকরণের অন্য অংশগুলোকে এক পাশে সরিয়ে নিই:

2\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 + 3y^2 = \frac{49}{8}

প্রতিটি টার্মকে ডিনমিনেটরে ভাগ করি, যাতে সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড আকারে আসে:

\frac{\left(x + \frac{7}{4}\right)^2}{\frac{49}{16}} + \frac{y^2}{\frac{49}{24/3}} = 1

\frac{\left(x + \frac{7}{4}\right)^2}{\frac{49}{16}} + \frac{y^2}{\frac{49}{8}} = 1

\frac{\left(x + \frac{7}{4}\right)^2}{\left(\frac{7}{4}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{7}{2\sqrt{3}}\right)^2} = 1

উপসংহার

সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড আকারে উপবৃত্তের রূপে এসেছে। তাই, এই সমীকরণটি উপবৃত্ত (ellipse) নির্দেশ করে।