একটি কণার উপর 2 মি./সে., 3 মি./সে., 5 মি./সে. মানের তিনটি বেগ এমন তিনটি দিকে আরোপ করা হলো যেন কণাটি স্থিতিশীল থাকে। ক্ষুদ্রতর কোণের বেগ দুইটির মধ্যবর্তী কোণটির পরিমাপ কত?
প্রদত্ত বেগের মানগুলো: \( v_1 = 2\, \text{m/s} \), \( v_2 = 3\, \text{m/s} \), \( v_3 = 5\, \text{m/s} \)।
এই তিনটি বেগের জন্য, কণাটি স্থিতিশীল থাকতে হলে, এই তিনবেগের ভেক্টর যোগফল শূন্য হতে হবে:
\[ \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0 \]এখন, এই ভেক্টরগুলো বিভিন্ন দিকের হতে পারে। কণাটি স্থিতিশীল থাকতে হলে, তিনটি ভেক্টর মনোনীত দিকের সমন্বয়ে একটি সমন্বয় তৈরি করতে হবে, যেখানে তাদের যোগফল শূন্য।
সাধারণত, এই ধরনের সমস্যা সমাধানে, তিনটি ভেক্টর সমতল ভেক্টর বলে ধরে নেওয়া হয়।
ধরি, দুটি ভেক্টর \(\vec{v}_1\) ও \(\vec{v}_2\) একটি নির্দিষ্ট কোণে অবস্থান করছে। তৃতীয় ভেক্টর \(\vec{v}_3\) এর জন্য, আমরা দেখতে পারি যে, এই ভেক্টরগুলো যদি একটি সমতলে থাকে এবং তাদের যোগফল শূন্য হয়, তাহলে তারা একটি ত্রিভুজ গঠন করবে।
তাহলে, ভেক্টরগুলোর মধ্যে কোণের মান নির্ণয় করতে হলে, ত্রিভুজের কৌণিক দিক বিবেচনা করি।
তাদের মধ্যে দুটি ভেক্টর এর মান হলো:\( v_1 = 2\, \text{m/s} \), \( v_2 = 3\, \text{m/s} \), \( v_3 = 5\, \text{m/s} \)।
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য: 2, 3, 5।
এখন, এই তিন বাহুর মধ্যে কোন দুটি বাহুর মধ্যে কোণের মান নির্ণয় করতে চাই, যা তাদের যোগফল শূন্য করতে সাহায্য করবে।
প্রথমে, মনে করি, বাহু 2 ও 3 এর মধ্যে কোণ \(\theta\)। তাদের যোগফল হলে, বাহু 5 এর সমান হবে।
তাই, ট্রিগনোমেট্রিক সূত্র ব্যবহার করি:
\[ 5^2 = 2^2 + 3^2 + 2 \times 2 \times 3 \times \cos \theta \]এখানে, অর্থাৎ:
\[ 25 = 4 + 9 + 12 \cos \theta \] \[ 25 = 13 + 12 \cos \theta \] \[ 12 \cos \theta = 25 - 13 = 12 \] \[ \cos \theta = 1 \] \[ \Rightarrow \theta = 0^\circ \]অর্থাৎ, এই দুই বাহুর মধ্যে কোণের মান 0°।
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতর কোণের মান দুইটির মধ্যবর্তী কোণে, অর্থাৎ 0°।
অতএব, উত্তর: 0°