\( (1,2) \) বিন্দুগামী \( y \) বক্ররেখার অন্তরক সহগ \( e^{\ln(\ln x)} \) হলে বক্ররেখাটির সমীকরণ -

Explanation: Solve: দেওয়া আছে, \(\frac{dy}{dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x\) [কারণ \(e^{\ln(a)} = a\) লেখা যায়] \(\implies \int \frac{dy}{dx} dx = \int \ln x \implies y = \ln x \int 1 dx - \int \left(\frac{d}{dx}(\ln x) \int 1 dx\right) dx\) \(\implies y = x \ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x dx \implies y = x \ln x - x + c\) এই রেখাটি \((1, 2)\) বিন্দুগামী বলে, \(2 = 1.\ln 1 - 1 + c = 0 - 1 + c\) \(\implies c = 3\) \(\therefore\) রেখাটির সমীকরণ, \(y = x \ln x - x + 3 \implies y = x(\ln x - 1) + 3\) Ans. (E)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( (1,2) \) বিন্দুগামী \( y \) বক্ররেখার অন্তরক সহগ \( e^{\ln(\ln x)} \) হলে বক্ররেখাটির সমীকরণ -

সমাধান:

দেওয়া আছে, \( \frac{dy}{dx} = e^{\ln(\ln x)} \) আমরা জানি, \( e^{\ln a} = a \) সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \ln x \) এখন, উভয়পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে সমাকলন করে পাই, \( \int \frac{dy}{dx} dx = \int \ln x \, dx \) \( \therefore y = \int \ln x \, dx \) ধরি, \( u = \ln x \) এবং \( dv = dx \) তাহলে, \( du = \frac{1}{x} dx \) এবং \( v = x \) সুতরাং, \( \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \) \( = x \ln x - \int 1 \, dx \) \( = x \ln x - x + c \) , যেখানে \( c \) একটি ধ্রুবক। সুতরাং, \( y = x \ln x - x + c \) যেহেতু বক্ররেখাটি \( (1,2) \) বিন্দুগামী, তাই \( x = 1 \) এবং \( y = 2 \) বসিয়ে পাই, \( 2 = 1 \cdot \ln 1 - 1 + c \) আমরা জানি, \( \ln 1 = 0 \) সুতরাং, \( 2 = 0 - 1 + c \) \( \therefore c = 3 \) অতএব, নির্ণেয় বক্ররেখার সমীকরণ \( y = x \ln x - x + 3 \) \( \therefore y = x(\ln x - 1) + 3 \) 🎉🎉 ```