যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং A²​ = I হয়, তবে A কে বলে—​​​

প্রশ্ন: যদি \(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং \(A^2 = I\) হয়, তবে \(A\) কে বলে—

উত্তর: অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স

ব্যাখ্যা / সমাধান:

ধরা যাক, \(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং \(A^2 = I\)। তাহলে, আমাদের লক্ষ্য হল এটির বৈশিষ্ট্য নির্ণয় করা।

প্রথমত, যেহেতু \(A^2 = I\), তাহলে:

\[A^2 - I = 0\]

অর্থাৎ,

\[A^2 - I = (A - I)(A + I) = 0\]

এখানে, ম্যাট্রিক্সের গুণের প্রোডাক্ট শূন্য হলে, অন্তত একটি অপ্রত্যক্ষ বা প্রত্যক্ষ শূন্যে বিভাজ্য হয়।

অতএব, এই সমীকরণ থেকে পাওয়া যায় যে, ম্যাট্রিক্স \(A\) এর অ eigenvalues গুলি হলো \(+1\) বা \(-1\)।

এখন, যদি \(A\) এর সব eigenvalues হয় \(+1\) অথবা \(-1\), এবং তা অপ্রত্যক্ষভাবে diagonalisable হয়, তাহলে:

• যদি সব eigenvalues হয় \(+1\), তাহলে \(A = I\)
• যদি সব eigenvalues হয় \(-1\), তাহলে \(A = -I\)
• অন্যথায়, \(A\) এর eigenvalues হয় \(+1\) এবং \(-1\), এবং \(A\) একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স।

উপসংহারে, \(A\) এর জন্য:

1. যদি \(A = I\) বা \(A = -I\), তবে এটি স্বাভাবিকভাবেই অভেদঘাতী নয়।
2. তবে, যদি \(A\) এর eigenvalues হয় \(+1\) এবং \(-1\), তবে \(A\) একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স।

অতএব, এটি প্রমাণিত যে, যদি \(A^2 = I\), তবে \(A\) একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স।