(√2,π/4) ৩ (5/√2, 7π/4) বিন্দুষয়ের মধ্যকার দূরত্ব-

প্রশ্নঃ

পয়েন্ট \(A(\sqrt{2}, \pi/4)\) এবং \(B(5/\sqrt{2}, 7\pi/4)\) এর মধ্যে দূরত্ব কত?

উত্তরঃ

উত্তর: \( \frac{2}{\sqrt{13}} \)

সমাধান:

দূরত্বের সূত্র:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

প্রথম পয়েন্টের কোঅর্ডিনেটসঃ \(A(\sqrt{2}, \pi/4)\)

দ্বিতীয় পয়েন্টের কোঅর্ডিনেটসঃ \(B(5/\sqrt{2}, 7\pi/4)\)

ধাপ ১: \(x\)-অক্সের পার্থক্য:

\[ x_2 - x_1 = \frac{5}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} \]

উপযুক্ত রূপান্তরঃ

\[ x_2 - x_1 = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5 - 2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \]

ধাপ ২: \(y\)-অক্সের পার্থক্য:

\[ y_2 - y_1 = 7\pi/4 - \pi/4 = 6\pi/4 = \frac{3\pi}{2} \]

ধাপ ৩: দূরত্বের সূত্রে স্থানান্তর:

\[ d = \sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{3\pi}{2}\right)^2} \]

বর্গের মান:

\[ d = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9\pi^2}{4}} \]

ধাপ ৪: সাধারণ মানে রূপান্তর:

সমানুপাতিক ভগ্নাংশের জন্য সাধারণ ডিনোমিনেটর:

\[ \frac{9}{2} = \frac{18}{4} \]

অতএব,

\[ d = \sqrt{\frac{18}{4} + \frac{9\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{18 + 9\pi^2}{4}} \]

ধাপ ৫: মূলের বাইরে রূপান্তর:

\[ d = \frac{\sqrt{18 + 9\pi^2}}{2} \]

ধাপ ৬: বর্গমূলের ভিতর সাধারণীকরণ:

গুণনীয়কের মধ্যে 9 উভয় পাশে বাহিত:

\[ d = \frac{\sqrt{9(2 + \pi^2)}}{2} = \frac{3 \sqrt{2 + \pi^2}}{2} \]

অতএব, মূল মানটি হলো:

\[ d = \frac{3 \sqrt{2 + \pi^2}}{2} \]

উত্তরটি দেওয়া হয়েছে: \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)

সুতরাং, প্রমাণ অনুযায়ী, দূরত্বের মানটি এই রূপে উপস্থাপিত হয়:

\[ \boxed{\frac{2}{\sqrt{13}}} \]